স্বাভাবিক গতির ⁵/₇ ভাগ গতিতে হাঁটলে একটি ছেলে স্কুলে 6 মিনিট দেরিতে পৌঁছায়। স্বাভাবিক গতিতে তার স্কুলে পৌঁছোতে কত মিনিট সময় লাগে? [RRB (NTPC) Exam. '16]
সঠিক উত্তর: (B) 15
বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
আমরা জানি, দূরত্ব স্থির থাকলে গতিবেগের অনুপাত সময়ের অনুপাতের ব্যস্তানুপাতিক হয়।
ধাপ ১: গতিবেগ এবং সময়ের অনুপাত নির্ণয়
ধরা যাক, স্বাভাবিক গতিবেগ S₁ এবং পরিবর্তিত গতিবেগ S₂।
S₂ = (5/7) × S₁
সুতরাং, S₂ / S₁ = 5 / 7 বা S₁ : S₂ = 7 : 5।
যেহেতু গতিবেগ ও সময় ব্যস্তানুপাতিক, তাই সময়ের অনুপাত হবে:
T₁ : T₂ = 5 : 7 (এখানে T₁ স্বাভাবিক সময় এবং T₂ পরিবর্তিত সময়)
ধাপ ২: সময়ের পার্থক্য থেকে স্বাভাবিক সময় নির্ণয়
ধরা যাক, স্বাভাবিক সময় T₁ = 5x মিনিট এবং পরিবর্তিত সময় T₂ = 7x মিনিট।
প্রশ্নে বলা হয়েছে, দেরিতে পৌঁছায় 6 মিনিট।
অর্থাৎ, সময়ের পার্থক্য = T₂ - T₁ = 7x - 5x = 2x মিনিট।
শর্তানুসারে, 2x = 6
=> x = 3
ছেলেটির স্বাভাবিক সময় T₁ = 5x = 5 × 3 = 15 মিনিট।
সুতরাং, স্বাভাবিক গতিতে তার স্কুলে পৌঁছোতে 15 মিনিট সময় লাগে।
সমবেগে গতিশীল একটি ট্রেনের গতিবেগ 10 কিমি/ঘণ্টা বেশি হলে একটি নির্দিষ্ট দূরত্ব অতিক্রম করতে 2 ঘণ্টা কম সময় লাগে। আবার ট্রেনটির বেগ 10 কিমি/ঘণ্টা কম হলে নির্দিষ্ট সময়ের থেকে 3 ঘণ্টা বেশি সময় লাগে। ট্রেনটির অতিক্রান্ত দূরত্ব কত? [RRB (NTPC) Exam. '16]
সঠিক উত্তর: (B) 600 কিমি
বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
ধরা যাক, ট্রেনটির প্রকৃত গতিবেগ v কিমি/ঘণ্টা এবং প্রকৃত সময় t ঘণ্টা।
অতএব, অতিক্রান্ত দূরত্ব d = v × t।
প্রথম শর্তানুসারে:
গতিবেগ = (v + 10) কিমি/ঘণ্টা, সময় = (t - 2) ঘণ্টা।
d = (v + 10)(t - 2)
vt = vt - 2v + 10t - 20
=> 2v - 10t = -20
=> v - 5t = -10 ... (i)
দ্বিতীয় শর্তানুসারে:
গতিবেগ = (v - 10) কিমি/ঘণ্টা, সময় = (t + 3) ঘণ্টা।
d = (v - 10)(t + 3)
vt = vt + 3v - 10t - 30
=> 3v - 10t = 30 ... (ii)
এখন সমীকরণ (ii) থেকে সমীকরণ (i) বিয়োগ করে পাই:
(3v - 10t) - (v - 5t) = 30 - (-10) (ভুল সংশোধন, সরাসরি বিয়োগ করা যায়)
সঠিক পদ্ধতি: সমীকরণ (ii) থেকে (i) কে 2 দিয়ে গুণ করে বিয়োগ করি (10t মেলানোর জন্য):
`3v - 10t = 30`
`2v - 10t = -20` (সমীকরণ (i) × 2)
`(-) (+) (+)` (চিহ্ন পরিবর্তন করে)
-------------------
`v = 50`
v-এর মান সমীকরণ (i)-এ বসিয়ে পাই:
50 - 5t = -10
=> 60 = 5t
=> t = 12
অতএব, ট্রেনটির প্রকৃত গতিবেগ 50 কিমি/ঘণ্টা এবং প্রকৃত সময় 12 ঘণ্টা।
ট্রেনটির অতিক্রান্ত দূরত্ব d = v × t = 50 × 12 = 600 কিমি।
একটি গাড়ি তার যাত্রাপথের প্রথম 39 কিমি যায় 45 মিনিটে এবং শেষ 25 কিমি 35 মিনিটে যায়। গাড়িটির গড়বেগ কত? [RRB (NTPC) Exam. '16]
সঠিক উত্তর: (D) 48 কিমি/ঘণ্টা
বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
গড়বেগের সূত্র হলো = (মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব) / (মোট সময়)
ধাপ ১: মোট দূরত্ব এবং মোট সময় নির্ণয়
ধাপ ২: সময়কে ঘণ্টায় রূপান্তর
যেহেতু গড়বেগ কিমি/ঘণ্টা এককে চাওয়া হয়েছে, তাই মোট সময়কে ঘণ্টায় পরিবর্তন করতে হবে।
80 মিনিট = 80/60 ঘণ্টা = 4/3 ঘণ্টা।
ধাপ ৩: গড়বেগ নির্ণয়
গড়বেগ = মোট দূরত্ব / মোট সময়
= 64 কিমি / (4/3) ঘণ্টা
= 64 × (3/4) কিমি/ঘণ্টা
= 16 × 3 = 48 কিমি/ঘণ্টা।
স্থির জলে এক ব্যক্তি 7½ কিমি/ঘণ্টা বেগে দাঁড় বাইতে পারে। স্রোতের অনুকূলে যেতে তার যত সময় লাগে, স্রোতের প্রতিকূলে ওই দূরত্ব যেতে তার দ্বিগুণ সময় লাগে। স্রোতের বেগ (কিমি/ঘণ্টা এককে) হল— [RRB (NTPC) Exam. '16]
সঠিক উত্তর: (B) 2.5
বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
ধরা যাক, স্রোতের বেগ v কিমি/ঘণ্টা।
স্থির জলে ব্যক্তির বেগ u = 7½ = 7.5 কিমি/ঘণ্টা।
প্রশ্নানুসারে, প্রতিকূলে যেতে অনুকূলের দ্বিগুণ সময় লাগে। যেহেতু দূরত্ব একই, তাই:
(প্রতিকূলের সময়) = 2 × (অনুকূলের সময়)
দূরত্ব / (প্রতিকূলের বেগ) = 2 × (দূরত্ব / (অনুকূলের বেগ))
1 / (7.5 - v) = 2 / (7.5 + v)
=> 7.5 + v = 2(7.5 - v)
=> 7.5 + v = 15 - 2v
=> v + 2v = 15 - 7.5
=> 3v = 7.5
=> v = 7.5 / 3 = 2.5
সুতরাং, স্রোতের বেগ 2.5 কিমি/ঘণ্টা।
দুজন ব্যক্তি একসাথে একটি নির্দিষ্ট দূরত্বের জন্য হাঁটা শুরু করেন। দুজনের গতিবেগ যথাক্রমে 3 কিমি/ঘণ্টা ও 3.75 কিমি/ঘণ্টা। দ্বিতীয় ব্যক্তি প্রথম জনের আধা ঘণ্টা আগে পৌঁছালে দূরত্ব ছিল— [RRB NTPC Exam. '21]
সঠিক উত্তর: (D) 7.5 কিমি
বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
ধরা যাক, দূরত্ব d কিমি।
প্রথম ব্যক্তির গতিবেগ = 3 কিমি/ঘণ্টা। তার সময় লাগে t₁ = d/3 ঘণ্টা।
দ্বিতীয় ব্যক্তির গতিবেগ = 3.75 কিমি/ঘণ্টা। তার সময় লাগে t₂ = d/3.75 ঘণ্টা।
দ্বিতীয় ব্যক্তি দ্রুততর, তাই সে কম সময় নেয়। সময়ের পার্থক্য আধা ঘণ্টা বা 0.5 ঘণ্টা।
t₁ - t₂ = 0.5
d/3 - d/3.75 = 0.5
d * (1/3 - 1/3.75) = 0.5
d * (1/3 - 4/15) = 0.5 (কারণ 3.75 = 15/4)
d * ( (5-4) / 15 ) = 0.5
d * (1/15) = 0.5
d = 0.5 × 15 = 7.5
সুতরাং, দূরত্ব ছিল 7.5 কিমি।
একটি গাড়ি প্রথম 10 কিমি 4 কিমি/ঘণ্টা গতিতে এবং পরের 10 কিমি 2 কিমি/ঘণ্টা গতিতে অতিক্রম করে। গাড়িটির গড় গতি নির্ণয় করো। [RRB RPF SI Exam. '19]
সঠিক উত্তর: (A) 2.67 কিমি/ঘণ্টা
বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
গড় গতি = (মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব) / (মোট সময়)
ধাপ ১: মোট দূরত্ব ও মোট সময় নির্ণয়
ধাপ ২: গড় গতি নির্ণয়
গড় গতি = 20 কিমি / 7.5 ঘণ্টা
= 200 / 75 = 8 / 3 ≈ 2.67 কিমি/ঘণ্টা।
(বিকল্প পদ্ধতি: যেহেতু দূরত্ব সমান, তাই (2xy / (x+y)) সূত্র ব্যবহার করা যায়। গড় গতি = (2 × 4 × 2) / (4 + 2) = 16/6 = 8/3 ≈ 2.67 কিমি/ঘণ্টা।)
সমান দৈর্ঘ্যের দুটি ট্রেন একইদিকে যথাক্রমে 46 কিমি/ঘণ্টা ও 36 কিমি/ঘণ্টা বেগে সমান্তরাল লাইনে চলছে। দ্রুতগামী ট্রেনটি 36 সেকেন্ডে অপেক্ষাকৃত ধীরগতির ট্রেনকে অতিক্রম করে। ট্রেন দুটির আপেক্ষিক গতিবেগ কত (মিটার/সেকেন্ড)? [RRB Group-D Exam. '22]
সঠিক উত্তর: (B) 25/9
বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
এই প্রশ্নে শুধুমাত্র আপেক্ষিক গতিবেগ মিটার/সেকেন্ড এককে বের করতে বলা হয়েছে।
ধাপ ১: আপেক্ষিক গতিবেগ নির্ণয় (কিমি/ঘণ্টা এককে)
ট্রেন দুটি একই দিকে চলছে, তাই আপেক্ষিক গতিবেগ হবে তাদের গতিবেগের বিয়োগফল।
আপেক্ষিক গতিবেগ = 46 - 36 = 10 কিমি/ঘণ্টা।
ধাপ ২: গতিবেগকে মিটার/সেকেন্ড এককে রূপান্তর
গতিবেগ (মি/সে) = গতিবেগ (কিমি/ঘণ্টা) × (5/18)
= 10 × (5/18)
= 50 / 18
= 25 / 9 মিটার/সেকেন্ড।
(দ্রষ্টব্য: এখানে 36 সেকেন্ড এবং সমান দৈর্ঘ্যের তথ্যটি ট্রেনের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের জন্য প্রয়োজন, কিন্তু প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য প্রয়োজন নয়।)
আজহার 10 ঘণ্টায় একটি যাত্রা শেষ করতে পারে। তিনি যাত্রার অর্ধেক পথ 21 কিমি/ঘণ্টা বেগে এবং বাকি পথ 24 কিমি/ঘণ্টা বেগে সম্পূর্ণ করলে, যাত্রাপথের দূরত্ব কত ছিল? [RRB RPF SI Exam. '19]
সঠিক উত্তর: (C) 224
বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
ধরা যাক, যাত্রাপথের অর্ধেক দূরত্ব d কিমি। তাহলে মোট দূরত্ব 2d কিমি।
শর্তানুসারে,
(d / 21) + (d / 24) = 10
(8d + 7d) / 168 = 10 (21 ও 24 এর ল.সা.গু. 168)
15d / 168 = 10
15d = 1680
d = 1680 / 15 = 112
সুতরাং, অর্ধেক দূরত্ব হল 112 কিমি।
মোট যাত্রাপথের দূরত্ব = 2 × d = 2 × 112 = 224 কিমি।
131 মিটার এবং 89 মিটার লম্বা দুটি ট্রেন যথাক্রমে 42 কিমি/ঘণ্টা এবং 30 কিমি/ঘণ্টা গতিবেগে বিপরীত দিকে যাচ্ছে। ট্রেন দুটি মিলিত হওয়ার পর থেকে কত সময়ে (সেকেন্ডে) একে অপরকে সম্পূর্ণ অতিক্রম করবে? [RRB (NTPC) Exam. '21]
সঠিক উত্তর: (B) 11
বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
ধাপ ১: মোট দূরত্ব এবং আপেক্ষিক গতিবেগ নির্ণয়
ধাপ ২: গতিবেগকে মিটার/সেকেন্ড এককে রূপান্তর
আপেক্ষিক গতিবেগ = 72 × (5/18) = 4 × 5 = 20 মিটার/সেকেন্ড।
ধাপ ৩: সময় নির্ণয়
সময় = মোট দূরত্ব / আপেক্ষিক গতিবেগ
= 220 / 20 = 11 সেকেন্ড।
250 মিটার লম্বা ট্রেন 100 কিমি/ঘণ্টা বেগে বিপরীত দিক থেকে আসা 62 কিমি/ঘণ্টা গতিবেগের অপর ট্রেনকে অতিক্রম করে 10 সেকেন্ডে। দ্বিতীয় ট্রেনের দৈর্ঘ্য কত মিটার? [RRB ALP, 2024]
সঠিক উত্তর: (A) 200
বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
ধরা যাক, দ্বিতীয় ট্রেনের দৈর্ঘ্য L মিটার।
ধাপ ১: মোট দূরত্ব এবং আপেক্ষিক গতিবেগ নির্ণয়
ধাপ ২: আপেক্ষিক গতিবেগকে মিটার/সেকেন্ড এককে রূপান্তর
আপেক্ষিক গতিবেগ = 162 × (5/18) = 9 × 5 = 45 মিটার/সেকেন্ড।
ধাপ ৩: সমীকরণ গঠন ও সমাধান
আমরা জানি, দূরত্ব = গতিবেগ × সময়
250 + L = 45 × 10
250 + L = 450
L = 450 - 250 = 200
সুতরাং, দ্বিতীয় ট্রেনের দৈর্ঘ্য 200 মিটার।