অধ্যায়: Time & Distance (সময় ও দূরত্ব)

বিস্তারিত ব্যাখ্যা:

এই ধরনের অঙ্ক সমীকরণ দিয়ে সমাধান করার থেকে বিকল্প (option) পরীক্ষা করে করা অনেক সহজ এবং দ্রুত।

ধরা যাক, বাসটির প্রকৃত গতিবেগ v কিমি/ঘণ্টা।
দূরত্ব = 72 কিমি।
সময় পার্থক্য = 36 মিনিট = 36/60 ঘণ্টা = 3/5 ঘণ্টা = 0.6 ঘণ্টা।

আমরা প্রতিটি বিকল্প পরীক্ষা করে দেখব:

• বিকল্প (A) (40 কিমি/ঘণ্টা):
  • প্রকৃত সময় = 72/40 = 1.8 ঘণ্টা।
  • নতুন গতিবেগ = 40 + 10 = 50 কিমি/ঘণ্টা।
  • নতুন সময় = 72/50 = 1.44 ঘণ্টা।
  • সময়ের পার্থক্য = 1.8 - 1.44 = 0.36 ঘণ্টা (36 মিনিটের সমান নয়)।
• বিকল্প (C) (30 কিমি/ঘণ্টা):
  • প্রকৃত সময় = 72/30 = 2.4 ঘণ্টা।
  • নতুন গতিবেগ = 30 + 10 = 40 কিমি/ঘণ্টা।
  • নতুন সময় = 72/40 = 1.8 ঘণ্টা।
  • সময়ের পার্থক্য = 2.4 - 1.8 = 0.6 ঘণ্টা।
  • 0.6 ঘণ্টা = 0.6 × 60 = 36 মিনিট (যা প্রশ্নের শর্তের সাথে মিলে যাচ্ছে)।

যেহেতু আমরা সঠিক উত্তর পেয়ে গেছি, তাই অন্য বিকল্পগুলি পরীক্ষা করার প্রয়োজন নেই।
সুতরাং, বাসটির প্রকৃত গতিবেগ 30 কিমি/ঘণ্টা।

বিস্তারিত ব্যাখ্যা:

ধাপ ১: মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয়
যখন দুটি ট্রেন পরস্পরকে অতিক্রম করে, তখন মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব হয় তাদের দৈর্ঘ্যের যোগফল।
মোট দূরত্ব = 200 মিটার + 300 মিটার = 500 মিটার।

ধাপ ২: আপেক্ষিক গতিবেগ নির্ণয়
যেহেতু ট্রেন দুটি বিপরীত দিক থেকে আসছে, তাদের আপেক্ষিক গতিবেগ হবে তাদের গতিবেগের যোগফল।
আপেক্ষিক গতিবেগ = 90 + 60 = 150 কিমি/ঘণ্টা।

ধাপ ৩: গতিবেগকে মিটার/সেকেন্ড-এ রূপান্তর
আপেক্ষিক গতিবেগ (মি/সে) = 150 × (5/18)
= (25 × 5) / 3 = 125/3 মিটার/সেকেন্ড।

ধাপ ৪: প্রয়োজনীয় সময় নির্ণয়
সময় = মোট দূরত্ব / আপেক্ষিক গতিবেগ
= 500 / (125/3) সেকেন্ড
= (500 × 3) / 125 সেকেন্ড
= 4 × 3 = 12 সেকেন্ড।

সুতরাং, তারা 12 সেকেন্ডে পরস্পরকে অতিক্রম করবে।

বিস্তারিত ব্যাখ্যা:

ধরা যাক, ট্রেনটির দৈর্ঘ্য L মিটার।
যখন ট্রেন একটি প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করে, তখন মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য।
মোট দূরত্ব = (L + 200) মিটার।

ধাপ ১: গতিবেগকে মিটার/সেকেন্ড-এ রূপান্তর
ট্রেনের গতিবেগ = 72 কিমি/ঘণ্টা
= 72 × (5/18) মিটার/সেকেন্ড
= 4 × 5 = 20 মিটার/সেকেন্ড।

ধাপ ২: সমীকরণ গঠন ও সমাধান
আমরা জানি, দূরত্ব = গতিবেগ × সময়।
L + 200 = 20 × 22
L + 200 = 440
L = 440 - 200
L = 240

সুতরাং, ট্রেনটির দৈর্ঘ্য 240 মিটার।

বিস্তারিত ব্যাখ্যা:

ধাপ ১: প্রথম ট্রেনের head start নির্ণয়
প্রথম ট্রেনটি দ্বিতীয় ট্রেনের থেকে 30 মিনিট (0.5 ঘণ্টা) আগে যাত্রা শুরু করেছে।
এই 30 মিনিটে প্রথম ট্রেনটি দূরত্ব অতিক্রম করে = গতিবেগ × সময়
= 60 কিমি/ঘণ্টা × 0.5 ঘণ্টা = 30 কিমি।
অর্থাৎ, যখন দ্বিতীয় ট্রেন যাত্রা শুরু করে, তখন প্রথম ট্রেনটি 30 কিমি এগিয়ে আছে।

ধাপ ২: আপেক্ষিক গতিবেগ নির্ণয়
যেহেতু ট্রেন দুটি একই দিকে যাচ্ছে, দ্বিতীয় ট্রেনটির প্রথম ট্রেনকে ধরার জন্য আপেক্ষিক গতিবেগ হবে তাদের গতিবেগের বিয়োগফল।
আপেক্ষিক গতিবেগ = 75 - 60 = 15 কিমি/ঘণ্টা।

ধাপ ৩: মিলিত হওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় সময় নির্ণয়
দ্বিতীয় ট্রেনটিকে 30 কিমি দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে 15 কিমি/ঘণ্টা আপেক্ষিক গতিবেগে।
সময় = দূরত্ব / আপেক্ষিক গতিবেগ = 30 / 15 = 2 ঘণ্টা।
(এই সময়টি দ্বিতীয় ট্রেন ছাড়ার পর থেকে গণনা করা হয়েছে)

ধাপ ৪: মিলিত হওয়ার স্থান নির্ণয়
দ্বিতীয় ট্রেনটি 2 ঘণ্টায় যে দূরত্ব অতিক্রম করবে, সেখানেই তারা মিলিত হবে।
দূরত্ব = দ্বিতীয় ট্রেনের গতিবেগ × সময়
= 75 কিমি/ঘণ্টা × 2 ঘণ্টা
= 150 কিমি।

সুতরাং, পাটনা থেকে 150 কিমি দূরত্বে ট্রেন দুটি মিলিত হবে।

বিস্তারিত ব্যাখ্যা:

ধরা যাক, ট্রেনটির পূর্বের গতিবেগ v কিমি/ঘণ্টা।
যাত্রাপথের দূরত্ব দুই ক্ষেত্রেই সমান। দূরত্ব = গতিবেগ × সময়।

প্রথম ক্ষেত্রে:
সময় = 48 মিনিট = 48/60 ঘণ্টা = 4/5 ঘণ্টা।
দূরত্ব = v × (4/5)

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে:
নতুন গতিবেগ = (v + 5) কিমি/ঘণ্টা।
সময় = 45 মিনিট = 45/60 ঘণ্টা = 3/4 ঘণ্টা।
দূরত্ব = (v + 5) × (3/4)

যেহেতু দূরত্ব একই,
v × (4/5) = (v + 5) × (3/4)
=> 16v = 15(v + 5) (কোণাকুণি গুণ করে)
=> 16v = 15v + 75
=> 16v - 15v = 75
=> v = 75

সুতরাং, ট্রেনটির পূর্বের গতিবেগ ছিল 75 কিমি/ঘণ্টা।

বিস্তারিত ব্যাখ্যা:

ধাপ ১: আপেক্ষিক গতিবেগ নির্ণয়
যেহেতু ট্রেন দুটি একই দিকে যাচ্ছে, দ্রুতগতির ট্রেনের সাপেক্ষে ধীরগতির ট্রেনের (এবং তাতে বসে থাকা ব্যক্তির) আপেক্ষিক গতিবেগ হবে তাদের গতিবেগের বিয়োগফল।
আপেক্ষিক গতিবেগ = 50 - 30 = 20 কিমি/ঘণ্টা।

ধাপ ২: আপেক্ষিক গতিবেগকে মিটার/সেকেন্ড-এ রূপান্তর
আপেক্ষিক গতিবেগ (মি/সে) = 20 × (5/18) = 100/18 = 50/9 মিটার/সেকেন্ড।

ধাপ ৩: দ্রুতগতির ট্রেনের দৈর্ঘ্য নির্ণয়
দ্রুতগতির ট্রেনটি ধীরগতির ট্রেনের একজন ব্যক্তিকে অতিক্রম করছে, যার অর্থ ট্রেনটি নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করছে।
ট্রেনের দৈর্ঘ্য (দূরত্ব) = আপেক্ষিক গতিবেগ × সময়
= (50/9) মিটার/সেকেন্ড × 18 সেকেন্ড
= 50 × 2 = 100 মিটার।

সুতরাং, দ্রুতগতিতে চলা ট্রেনটির দৈর্ঘ্য 100 মিটার।

বিস্তারিত ব্যাখ্যা:

প্রশ্নটি হলো "প্রতি ঘণ্টায় ট্রেন দুটির দূরত্ব কত হবে?", যার অর্থ তাদের গতিবেগের পার্থক্য কত।

ধাপ ১: প্রথম ট্রেনের গতিবেগ নির্ণয়
গতিবেগ = দূরত্ব / সময় = 180 / 4 = 45 কিমি/ঘণ্টা।

ধাপ ২: দ্বিতীয় ট্রেনের গতিবেগ নির্ণয়
দ্বিতীয় ট্রেনটি 1 ঘণ্টা কম সময় নেয়, অর্থাৎ সময় লাগে = 4 - 1 = 3 ঘণ্টা।
গতিবেগ = দূরত্ব / সময় = 180 / 3 = 60 কিমি/ঘণ্টা।

ধাপ ৩: গতিবেগের পার্থক্য নির্ণয়
প্রতি ঘণ্টায় তাদের মধ্যে দূরত্বের পার্থক্য হবে তাদের গতিবেগের পার্থক্য।
পার্থক্য = 60 - 45 = 15 কিমি/ঘণ্টা।

সুতরাং, প্রতি ঘণ্টায় ট্রেন দুটির মধ্যে দূরত্ব 15 কিমি বৃদ্ধি পাবে।

বিস্তারিত ব্যাখ্যা:

কিমি/ঘণ্টা থেকে মিটার/সেকেন্ড-এ রূপান্তর করার জন্য (5/18) দিয়ে গুণ করতে হয়।
গতিবেগ (মি/সে) = 180 × (5/18)
= 10 × 5
= 50 মিটার/সেকেন্ড।

বিস্তারিত ব্যাখ্যা:

যখন একটি ট্রেন কোনো ব্যক্তি বা খুঁটি অতিক্রম করে, তখন ট্রেনটি নিজের দৈর্ঘ্যের সমান দূরত্ব অতিক্রম করে।
অতিক্রান্ত দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য = 120 মিটার।
সময় = 10 সেকেন্ড।

গতিবেগ = দূরত্ব / সময়
= 120 মিটার / 10 সেকেন্ড
= 12 মিটার/সেকেন্ড।

বিস্তারিত ব্যাখ্যা:

স্রোতের গতিবেগ নির্ণয়ের সূত্রটি হলো:
স্রোতের গতিবেগ = (স্রোতের অনুকূলে গতিবেগ - স্রোতের প্রতিকূলে গতিবেগ) / 2

দেওয়া আছে,
স্রোতের অনুকূলে গতিবেগ = 15.5 কিমি/ঘণ্টা
স্রোতের প্রতিকূলে গতিবেগ = 8.5 কিমি/ঘণ্টা

স্রোতের গতিবেগ = (15.5 - 8.5) / 2
= 7 / 2
= 3.5 কিমি/ঘণ্টা।