অধ্যায়: বিগত বছরের প্রশ্নপত্র (সেট 1)

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):
এখানে আমরা দর্পণের সূত্র এবং বিবর্ধনের সূত্র ব্যবহার করব।

• ধাপ ১: প্রদত্ত মানগুলি চিহ্নিত করা
  • বস্তুর উচ্চতা (h₀) = +1 সেমি
  • বস্তুর দূরত্ব (u) = -24 সেমি (চিহ্নের নিয়ম অনুযায়ী দর্পণের সামনে দূরত্ব ঋণাত্মক)
  • ফোকাস দূরত্ব (f) = -16 সেমি (অবতল দর্পণের ফোকাস দূরত্ব ঋণাত্মক)
• ধাপ ২: প্রতিবিম্বের দূরত্ব (v) নির্ণয়

  দর্পণের সূত্রটি হলো: 1/v + 1/u = 1/f

  মান বসিয়ে পাই,
  1/v + 1/(-24) = 1/(-16)
  বা, 1/v = 1/24 - 1/16
  বা, 1/v = (2 - 3) / 48
  বা, 1/v = -1 / 48
  সুতরাং, v = -48 সেমি। (যেহেতু v-এর মান ঋণাত্মক, প্রতিবিম্বটি সদ এবং অবশীর্ষ হবে।)

• ধাপ ৩: প্রতিবিম্বের উচ্চতা (hᵢ) নির্ণয়

  বিবর্ধনের সূত্রটি হলো: m = -v/u = hᵢ/h₀

  মান বসিয়ে পাই, m = -(-48) / (-24) = -2

  এখন, -2 = hᵢ / 1

  সুতরাং, hᵢ = -2 সেমি। (প্রতিবিম্বের উচ্চতা 2 সেমি এবং ঋণাত্মক চিহ্নটি বোঝায় যে প্রতিবিম্বটি অবশীর্ষ বা উল্টো।)

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

• ধাপ ১: একটি আদর্শ বর্তনীতে, পরিবাহীর দুই প্রান্তের বিভবপ্রভেদ সংযুক্ত ব্যাটারির ভোল্টেজের সমান হয়। তাই, প্রথম ক্ষেত্রে বিভবপ্রভেদ, V₁ = 6V।
• ধাপ ২: দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, যখন 9V-এর ব্যাটারি যুক্ত করা হয়, তখন বিভবপ্রভেদ হয়, V₂ = 9V।
• ধাপ ৩: এখন অনুপাতটি নির্ণয় করি: V₂ / V₁ = 9 / 6 = 3 / 2 = 1.5।

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

• ধাপ ১: প্রদত্ত মান ও একক পরিবর্তন
  • বিভবপার্থক্য (V) = 24 V
  • তড়িৎপ্রবাহ (I) = 96 mA (মিলিঅ্যাম্পিয়ার)। এটিকে অ্যাম্পিয়ারে নিতে হবে। 1 A = 1000 mA, তাই I = 96 / 1000 A = 0.096 A।
• ধাপ ২: ওহমের সূত্র প্রয়োগ
  • ওহমের সূত্রটি হলো: R = V / I (যেখানে R হলো রোধ)
  • R = 24 / 0.096 = 24000 / 96 = 250 Ω (ওহম)।

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

• আমরা জানি, দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির গসাগু × সংখ্যা দুটির লসাগু।
• মান বসালে পাই: 25 = 5 × লসাগু
• সুতরাং, লসাগু = 25 / 5 = 5।

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

• ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফলের সূত্র = ½ × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × উচ্চতা।
• ক্ষেত্রফল = ½ × (3 + 5) × 6 = ½ × 8 × 6 = 24 বর্গএকক।

ব্যাখ্যা:
এটি পরিসংখ্যানের একটি প্রমিত সূত্র, যেখানে:

• L = মধ্যমা শ্রেণির নিম্নসীমা
• N = মোট পরিসংখ্যা
• CFo = মধ্যমা শ্রেণির ঠিক আগের শ্রেণির ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা
• F = মধ্যমা শ্রেণির পরিসংখ্যা
• H = শ্রেণি দৈর্ঘ্য

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

• ধরি সংখ্যা দুটি x ও y। তাহলে, x + y = 45 এবং x - y = 19।
• সমীকরণ দুটি যোগ করে পাই: 2x = 64, অর্থাৎ x = 32।
• x-এর মান প্রথম সমীকরণে বসিয়ে পাই: 32 + y = 45, অর্থাৎ y = 13।

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

• প্রদত্ত সমীকরণ থেকে পাই, বীজের যোগফল (α + β) = -1/6 এবং বীজের গুণফল (αβ) = -15/6 = -5/2।
• আমরা জানি, (α – β)² = (α + β)² - 4αβ।
• মান বসিয়ে পাই: (-1/6)² - 4(-5/2) = 1/36 + 10 = 361/36।
• সুতরাং, (α – β) = √(361/36) = 19/6।

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

• পর্ব ১ (প্রথম ট্রেনের গতিবেগ নির্ণয়): ধরি ট্রেনের গতিবেগ S₁। আপেক্ষিক গতিবেগ (একই দিকে) = (S₁-8) কিমি/ঘণ্টা। দূরত্ব = গতিবেগ × সময় => 280 = (S₁ - 8)×(5/18)×16। সমাধান করে পাই, S₁ = 71 কিমি/ঘণ্টা।
• পর্ব ২ (দুটি ট্রেন পরস্পরকে অতিক্রমের সময়): আপেক্ষিক গতিবেগ (বিপরীত দিকে) = 71 + 37 = 108 কিমি/ঘণ্টা = 30 মি/সে। মোট দূরত্ব = দুটি ট্রেনের দৈর্ঘ্যের যোগফল = 280 + 380 = 660 মিটার। প্রয়োজনীয় সময় = দূরত্ব/গতিবেগ = 660/30 = 22 সেকেন্ড।

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

• যেহেতু DE || AC, তাই ΔBDE ~ ΔBAC। সদৃশ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত তাদের অনুরূপ বাহুর বর্গের অনুপাতের সমান।
• ক্ষেত্রফল(ΔBDE)/ক্ষেত্রফল(ΔBAC) = (BD/BA)² = [4/(4+2√2)]² = 2/(3+2√2)।
• ক্ষেত্রফল(ADEC) = ক্ষেত্রফল(ΔBAC) - ক্ষেত্রফল(ΔBDE)।
• অনুপাত হবে 2k : [(3+2√2)k - 2k] = 2 : (1+2√2)।

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

• যেকোনো সুষম বহুভুজের বাহুসংখ্যা = 360° / প্রতিটি বহিঃকোণের মান।
• বাহুসংখ্যা = 360 / 40 = 9।

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

• সমানুপাতের নিয়ম অনুযায়ী, প্রান্তীয় পদ দুটির গুণফল = মধ্যবর্তী পদ দুটির গুণফলের সমান।
• 9.6 × x = 16.8 × 18 => x = (16.8 × 18) / 9.6 = 31.5।

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

• (2টি টেবিল + 3টি চেয়ার) - (2টি টেবিল + 1টি চেয়ার) = 540 - 470
• 2টি চেয়ারের মূল্য = 70 টাকা => 1টি চেয়ারের মূল্য = 35 টাকা।
• ৫টি চেয়ারের মূল্য = 5 × 35 = 175 টাকা।

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

• বামপক্ষকে সরল করলে পাই: (sin²β + 2 + cosec²β) + (sec²β - 2 + cos²β)
• = (sin²β + cos²β) + cosec²β + sec²β = 1 + (1+cot²β) + (1+tan²β) = 3 + tan²β + cot²β।
• ডানপক্ষের সাথে তুলনা করে পাই, a = 3।

ব্যাখ্যা: BODMAS নিয়ম অনুযায়ী, (529 ÷ 23) × 61 + 1403 = 23 × 61 + 1403 = 1403 + 1403 = 2806। (দ্রষ্টব্য: প্রদত্ত বিকল্পগুলিতে উত্তরটি নেই)।

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

• সংখ্যা দুটি 4x, 3x ধরলে, গসাগু = x, লসাগু = 12x। প্রশ্নানুসারে, x × 12x = 432 => x=6।
• সুতরাং, গসাগু = 6, লসাগু = 72। তাদের অনোন্যকের সমষ্টি = 1/6 + 1/72 = 13/72।

ব্যাখ্যা: সমীকরণ সমাধান করে পাই A=23, B=20। ১৩ বছর পর তাদের বয়সের সমষ্টি হবে (23+13) + (20+13) = 36 + 33 = 69 বছর। (দ্রষ্টব্য: প্রদত্ত বিকল্পে উত্তরটি নেই)।

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

• গড় গতিবেগ = মোট দূরত্ব/মোট সময়। মোট দূরত্ব = 900 কিমি। মোট সময় = (300/15) + (225/x) + (375/30) = 32.5 + 225/x।
• 20 = 900 / (32.5 + 225/x) => 32.5 + 225/x = 45 => 225/x = 12.5 => x = 18।

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

• হরের (denominator) প্রতিটি পদ লবের (numerator) অনুরূপ পদের ১/১০ ভাগ। অর্থাৎ, হর = (লব) / 10² = লব / 100।
• সুতরাং, রাশিটি হলো = লব / (লব/100) = 100।

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

• প্রদত্ত সমীকরণটি হলো (x-2)² = 0, সুতরাং x = 2।
• মান বসালে পাই: 2³ + 2² + 1/2 + 1/2² = 8 + 4 + 0.5 + 0.25 = 12.75।

ব্যাখ্যা:
এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equation), তাই এর সর্বদা দুটি বীজ থাকবে। এখানে, (x-1)² = 0, অর্থাৎ বীজ দুটি সমান এবং তাদের মান হলো 1।

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

• সংখ্যাগুলিকে নিকটতম পূর্ণসংখ্যায় পরিবর্তন করে: 15 + 11 + 13 - (13 × 2) + (25 ÷ 5) = 15 + 11 + 13 - 26 + 5 = 18।

ব্যাখ্যা: প্রথম ক্ষেত্রে দূরত্ব = 36 × (11/4) = 99 মাইল। দ্বিতীয় ক্ষেত্রে দূরত্ব = 56 × (3/2) = 84 মাইল। মোট দূরত্ব = 99 + 84 = 183 মাইল। (দ্রষ্টব্য: প্রদত্ত বিকল্পে উত্তরটি নেই)।

ব্যাখ্যা: A-এর মোট নম্বর = 94 + 86 = 180। C-এর মোট নম্বর = 88 + 74 = 162। অনুপাত = 180 : 162 = 10 : 9। (দ্রষ্টব্য: প্রদত্ত বিকল্পে উত্তরটি নেই)।

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

• চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে, যদি নির্দিষ্ট সময়ে আসল 'k' গুণ হয়, তবে তার তিনগুণ সময়ে আসল k³ গুণ হবে।
• 6 বছরে 3 গুণ হলে, 18 বছরে (3 × 6 বছরে) আসল টাকার 3³ = 27 গুণ হবে।
• সুতরাং, 18 বছর পর সুদ-আসল হবে 36000 × 27 = 972000 টাকা। (বিকল্পে সুদ-আসল দেওয়া আছে)।

ব্যাখ্যা: ১ সেকেন্ডে মোট জল প্রবেশ করে = (1/40 + 1/80) - (1/60 + 1/160) = (3/80) - (11/480) = 7/480 অংশ। সম্পূর্ণ ট্যাংক ভরতে সময় লাগবে 480/7 ≈ 68.57 সেকেন্ড। (দ্রষ্টব্য: প্রদত্ত বিকল্পে উত্তরটি নেই)।

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

• ধাপ ১ (হিরনের সূত্র): অর্ধ-পরিসীমা (s) = (15+28+41)/2 = 42 সেমি। ক্ষেত্রফল = √[42(42-15)(42-28)(42-41)] = 126 বর্গ সেমি।
• ধাপ ২ (লম্বের দৈর্ঘ্য): ক্ষেত্রফল = ½ × ভূমি × উচ্চতা => 126 = ½ × 28 × উচ্চতা => উচ্চতা = 126/14 = 9 সেমি।

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

• A, D এবং G কলেজের মোট শতাংশ = 10% + 16% + 14% = 40%।
• একত্রে ছাত্র সংখ্যা = 23786 এর 40% = 23786 × (40/100) = 9514.4, যা আনুমানিকভাবে 9514।

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

• স্কিম I (ক্রমিক ছাড়): সমতুল্য ছাড় = (30+35) - (30×35)/100 = 54.5%।
• স্কিম II (6টি কিনলে 4টি ফ্রি): ছাড় = (বিনামূল্যের দ্রব্য / মোট দ্রব্য) × ১০০ = (৪/১০) × ১০০ = 40%।
• স্কিম III (5টি কিনলে 6টি ফ্রি): ছাড় = (৬/১১) × ১০০ ≈ 54.54%।
• সুতরাং, স্কিম III-তে ছাড় সর্বাধিক।

ব্যাখ্যা:

• অঙ্ক বিনিময়ের পর নতুন সংখ্যাগুলি হলো: 542, 423, 631, 759, 764।
• এদের মধ্যে 764 বৃহত্তম, যা মূল সংখ্যা 674 থেকে এসেছে।

ব্যাখ্যা (যুক্তি):

• শ্রেণিটির পার্থক্যগুলি হলো: +3, +5, +7। এগুলি পরপর মৌলিক সংখ্যা।
• 7-এর পরের মৌলিক সংখ্যা হলো 11।
• সুতরাং, পরবর্তী সংখ্যাটি হবে 116 + 11 = 127।

ব্যাখ্যা:

• মূল সমীকরণের মান: 5 x 3 + 22 - 18 = 19।
• 22 ও 25 স্থান পরিবর্তন করলে নতুন সমীকরণটি হয়: 5 x 15 ÷ 5 + 25 - 18 = 22।
• বামপক্ষ সমাধান করলে: 15 + 25 - 18 = 22। যেহেতু 22 = 22, তাই সমীকরণটি সঠিক।

ব্যাখ্যা (যুক্তি):

• সম্পর্কটি হলো: প্রথম সংখ্যার সাথে 18 যোগ করা হচ্ছে।
• 13 + 18 = 31, 15 + 18 = 33।
• সুতরাং, 20 + 18 = 38।

ব্যাখ্যা:

• অযুগ্ম সংখ্যা যার পরে চিহ্ন: 67, 79, 73।
• যুগ্ম সংখ্যা যার পূর্বে চিহ্ন: 36, 56, 42, 32।
• মোট সমষ্টি = (67+79+73) + (36+56+42+32) = 219 + 166 = 385। (দ্রষ্টব্য: প্রদত্ত বিকল্পে উত্তরটি নেই)।

ব্যাখ্যা:
প্রশ্নের অর্থ হলো ভেনচিত্রে চারটি ক্ষেত্রের সাধারণ অংশ (Common Intersection) খুঁজে বের করা, যা হলো 9।

ব্যাখ্যা (যুক্তি):

• সম্পর্কটি হলো: n³ + n।
• যখন n=2, 2³+2=10। যখন n=3, 3³+3=30।
• সুতরাং, যখন n=4, তখন 4³+4 = 64+4 = 68।

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

• প্রথম স্তরের পার্থক্য: 17, 26, 53, 98।
• দ্বিতীয় স্তরের পার্থক্য: 9, 27, 45। (এই পার্থক্যগুলি 18 করে বাড়ছে)।
• পরবর্তী দ্বিতীয় স্তরের পার্থক্য হবে 45 + 18 = 63।
• পরবর্তী প্রথম স্তরের পার্থক্য হবে 98 + 63 = 161।
• সুতরাং, নির্ণেয় সংখ্যাটি হলো 198 + 161 = 359।

ব্যাখ্যা:

• মোট ছাত্র = 50। রাকেশের স্থান বামদিক থেকে = (50 - 17) + 1 = 34-তম। কমলেশের স্থান বামদিক থেকে = 22-তম।
• তাদের মাঝে ছাত্র সংখ্যা = (বড় স্থান - ছোট স্থান) - 1 = (34 - 22) - 1 = 11 জন। (দ্রষ্টব্য: প্রদত্ত বিকল্পে উত্তরটি নেই)।

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

• ধাপ ১ (গড় ক্রয়মূল্য): গড় ক্রয়মূল্য = [(৫০×২) + (৪০×৪) + (৩০×৯)] / (২+৪+৯) = ৫৩০/১৫ টাকা/কেজি।
• ধাপ ২ (বিক্রয়মূল্য): ৩০% লাভে বিক্রয়মূল্য = (৫৩০/১৫) × ১.৩ ≈ ৪৫.৯৩ টাকা/কেজি।

ব্যাখ্যা:

• ২৫ পয়সার মুদ্রা (১ ভাগ) = ১০০ টি, তাহলে ৫০ পয়সার মুদ্রা (৩ ভাগ) = ৩০০ টি এবং ১ টাকার মুদ্রা (৫ ভাগ) = ৫০০ টি।
• মোট মূল্য = (১০০ × ০.২৫) + (৩০০ × ০.৫০) + (৫০০ × ১) = ২৫ + ১৫০ + ৫০০ = ৬৭৫ টাকা। (দ্রষ্টব্য: প্রদত্ত বিকল্পে উত্তরটি নেই)।

ব্যাখ্যা:

• আসল ক্রম: 534, 945, 317, 354, 781।
• ঊর্ধ্বক্রমে সাজানোর পরের ক্রম: 317, 354, 534, 781, 945।
• দুটি ক্রম তুলনা করলে দেখা যায়, কোনো সংখ্যার স্থানই অপরিবর্তিত নেই।