যদি (sinβ + cosecβ)² + (secβ - cosβ)² = a + tan²β + cot²β হয় তাহলে a এর মান হবে—
সঠিক উত্তর: (A) 3
ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):
আমরা সমীকরণের বামপক্ষকে সরল করব।
ধাপ 1: প্রথম অংশটি বিস্তৃত করি:
(sinβ + cosecβ)² = sin²β + 2.sinβ.cosecβ + cosec²β
যেহেতু sinβ.cosecβ = 1, তাই এটি হবে: sin²β + 2 + cosec²β
ধাপ 2: দ্বিতীয় অংশটি বিস্তৃত করি:
(secβ - cosβ)² = sec²β - 2.secβ.cosβ + cos²β
যেহেতু secβ.cosβ = 1, তাই এটি হবে: sec²β - 2 + cos²β
ধাপ 3: দুটি অংশ যোগ করি:
(sin²β + 2 + cosec²β) + (sec²β - 2 + cos²β)
= (sin²β + cos²β) + cosec²β + sec²β + 2 - 2
= 1 + cosec²β + sec²β
ধাপ 4: ত্রিকোণমিতিক অভেদ ব্যবহার করি (cosec²β = 1 + cot²β এবং sec²β = 1 + tan²β):
= 1 + (1 + cot²β) + (1 + tan²β)
= 3 + tan²β + cot²β
ধাপ 5: প্রদত্ত সমীকরণের সাথে তুলনা করি:
3 + tan²β + cot²β = a + tan²β + cot²β
স্পষ্টতই, a = 3।
529 ÷ 23 × 61 + 1403 -এর মান নির্ণয় করুণ।
সঠিক উত্তর: (D) 2806
ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):
এই অংকটি করার জন্য আমরা BODMAS নিয়ম (বন্ধনীর কাজ, তারপর ভাগ, গুণ, যোগ, বিয়োগ) অনুসরণ করব।
যদি দুটি সংখ্যার অনুপাত 4 : 3 এবং তাদের গসাগু ও লসাগু-এর গুণফল 432 হয় তাহলে লসাগু ও গসাগু দুটির অনোন্যকের সমষ্টি হবে—
সঠিক উত্তর: (A) 13/72
ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):
ধাপ 1: সংখ্যা দুটি নির্ণয় করা।
ধরি, সংখ্যা দুটি হলো 4x এবং 3x।
ধাপ 2: x-এর মান নির্ণয় করা।
প্রশ্নানুসারে, গসাগু × লসাগু = 432
=> x × 12x = 432
=> 12x² = 432
=> x² = 432 / 12 = 36
=> x = 6
ধাপ 3: গসাগু এবং লসাগু-এর প্রকৃত মান নির্ণয় করা।
ধাপ 4: তাদের অনোন্যকের (Reciprocal) সমষ্টি নির্ণয় করা।
অনোন্যকের সমষ্টি = (1/গসাগু) + (1/লসাগু) = 1/6 + 1/72
= (12 + 1) / 72 = 13/72
A-এর বর্তমান বয়সের দ্বিগুণ ও B-এর বর্তমান বয়সের তিনগুণের সমষ্টি 106 বছর। B-এর বর্তমান বয়সের চারগুণ, A-এর বর্তমান বয়সের তিনগুণ থেকে 11 বেশি। 4 বছর পর A ও B-এর বয়সের সমষ্টি (বছরে) কত?
সঠিক উত্তর: (D) 51
ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):
ধরি, A-এর বর্তমান বয়স = A এবং B-এর বর্তমান বয়স = B।
প্রশ্নানুসারে, আমরা দুটি সমীকরণ পাই:
এখন সমীকরণ দুটি সমাধান করি:
সমীকরণ (1)-কে 3 দিয়ে গুণ করে পাই: 6A + 9B = 318
সমীকরণ (2)-কে 2 দিয়ে গুণ করে পাই: 6A - 8B = -22
প্রথমটি থেকে দ্বিতীয়টি বিয়োগ করে পাই:
(6A + 9B) - (6A - 8B) = 318 - (-22)
=> 17B = 340
=> B = 20 বছর
B-এর মান সমীকরণ (1)-এ বসিয়ে পাই:
2A + 3(20) = 106
=> 2A + 60 = 106
=> 2A = 46
=> A = 23 বছর
সুতরাং, A ও B-এর বর্তমান বয়স যথাক্রমে 23 বছর এবং 20 বছর।
এখন, 4 বছর পর তাদের বয়সের সমষ্টি:
4 বছর পর A-এর বয়স হবে = 23 + 4 = 27 বছর।
4 বছর পর B-এর বয়স হবে = 20 + 4 = 24 বছর।
অতএব, 4 বছর পর তাদের বয়সের সমষ্টি হবে = 27 + 24 = 51 বছর।
এক ব্যক্তি 300 কিমি, 225 কিমি ও 375 কিমি যথাক্রমে 15 কিমি/ঘণ্টা, x কিমি/ঘণ্টা ও 30 কিমি/ঘণ্টা বেগে যাত্রা করে। যদি তার গড় গতিবেগ 20 কিমি/ঘণ্টা হয় তবে x-এর মান কত?
সঠিক উত্তর: (D) 18
ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):
গড় গতিবেগের সূত্র = (মোট দূরত্ব) / (মোট সময়)
[(0.11)² + (0.06)² + (0.031)²] / [(0.011)² + (0.006)² + (0.0031)²] -এর সরলমান হবে—
সঠিক উত্তর: (D) 100
ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):
লক্ষ্য করলে দেখা যাবে যে, হরের (denominator) প্রতিটি পদ লবের (numerator) অনুরূপ পদের 1/10 ভাগ।
যেমন, 0.011 = 0.11 / 10; 0.006 = 0.06 / 10; 0.0031 = 0.031 / 10
সুতরাং, আমরা হরকে এভাবে লিখতে পারি:
(0.11/10)² + (0.06/10)² + (0.031/10)²
= (0.11)²/100 + (0.06)²/100 + (0.031)²/100
= (1/100) × [(0.11)² + (0.06)² + (0.031)²]
এখন পুরো রাশিটি দাঁড়ায়:
[লব] / [(1/100) × লব]
লব অংশটি কেটে গেলে থাকে: 1 / (1/100) = 100।
যদি x² – 4x + 4 = 0 হয় তাহলে x³ + x² + 1/x + 1/x² -এর মান হবে—
সঠিক উত্তর: (D) 12.75
ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):
ধাপ 1: প্রদত্ত সমীকরণ থেকে x-এর মান নির্ণয় করা।
x² – 4x + 4 = 0
=> (x - 2)² = 0
=> x - 2 = 0
=> x = 2
ধাপ 2: নির্ণেয় রাশিতে x-এর মান বসানো।
x³ + x² + 1/x + 1/x²
= (2)³ + (2)² + 1/2 + 1/(2)²
= 8 + 4 + 0.5 + 1/4
= 12 + 0.5 + 0.25
= 12.75
যদি x² – 2x + 1 = 0 হয় তাহলে সমীকরণের কটি বীজ থাকবে—
সঠিক উত্তর: (B) দুটি
ব্যাখ্যা: প্রদত্ত সমীকরণটি (x² – 2x + 1 = 0) একটি দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equation)। দ্বিঘাত সমীকরণের সর্বোচ্চ ঘাত 2 হওয়ায় এর সর্বদা দুটি বীজ (roots) থাকে।
এখানে, সমীকরণটিকে (x - 1)² = 0 লেখা যায়। এর সমাধান করলে x = 1 পাওয়া যায়। অর্থাৎ, সমীকরণটির দুটি বীজই সমান এবং তাদের মান হলো 1।
নীচে দেওয়া রাশিমালাটির ‘?’ চিহ্নিত স্থানে আনুমানিক কী মান বসবে? 14.96 + 10.96 + 13.16 - 12.89 × 2.04 + 24.93 ÷ 5.1 = ?
সঠিক উত্তর: (D) 18
ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):
আনুমানিক মান (Approximate value) নির্ণয় করার জন্য আমরা সংখ্যাগুলিকে নিকটতম পূর্ণসংখ্যায় পরিবর্তন করব।
একটি গাড়ি 36 মাইল/ঘণ্টা বেগে 2 ¼ ঘণ্টায় কিছু দূরত্ব যায় এবং 56 মাইল/ঘণ্টা বেগে 1 ¾ ঘণ্টায় অপর একটি দূরত্ব অতিক্রম করে। গাড়িটি মোট কত দূরত্ব (মাইল) অতিক্রম করে?
সঠিক উত্তর: (A) 179
ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):
গাড়িটির মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব বের করার জন্য, আমরা দুটি অংশের দূরত্ব আলাদাভাবে গণনা করে যোগ করব।
মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = প্রথম ক্ষেত্রের দূরত্ব + দ্বিতীয় ক্ষেত্রের দূরত্ব
= 81 + 98 = 179 মাইল।
নীচে টেবিলে গণিত, হিন্দি, ইংরেজি ও বিজ্ঞান বিষয়ে A, B, C এবং D চারজন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বর দেওয়া হয়েছে। নম্বর 100-এর মধ্যে প্রাপ্ত বলে বিবেচনা করা হবে।
| বিষয় / ছাত্র | A | B | C | D |
|---|---|---|---|---|
| গণিত | 94 | 85 | 83 | 78 |
| হিন্দি | 86 | 78 | 74 | 82 |
| ইংরেজি | 75 | 73 | 70 | 74 |
| বিজ্ঞান | 92 | 88 | 66 | 68 |
প্রশ্ন: গণিত ও হিন্দিতে A-এর প্রাপ্ত নম্বর এবং বিজ্ঞান ও হিন্দিতে C-এর প্রাপ্ত নম্বরের অনুপাত কত?
সঠিক উত্তর: (C) 9 : 7
ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):
টেবিল থেকে তথ্য অনুযায়ী,
এখন এই দুটি মানের অনুপাত নির্ণয় করতে হবে:
অনুপাত = 180 : 140
অনুপাতটিকে সরল করার জন্য উভয় সংখ্যাকে তাদের গ.সা.গু. (20) দিয়ে ভাগ করি:
=> (180 ÷ 20) : (140 ÷ 20)
=> 9 : 7
সুতরাং, নির্ণেয় অনুপাত হলো 9 : 7।
নির্দিষ্ট বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে 36000 টাকা রাখা হল। 6 বছর পর আসলের তিনগুণ টাকা পাওয়া গেল। তাহলে একই সুদের হারে 18 বছর পর চক্রবৃদ্ধি সুদের পরিমাণ কত?
সঠিক উত্তর: (C) 972000
ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):
চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে, যদি নির্দিষ্ট সময়ে আসল 'k' গুণ হয়, তবে তার দ্বিগুণ সময়ে আসল k² গুণ হবে, তিনগুণ সময়ে k³ গুণ হবে ইত্যাদি।
একটি ট্যাংকে 4টি পাইপ যুক্ত আছে। দুটি নল ট্যাংককে ভরতি করে, বাকি দুটি থেকে জল নির্গত হয়। প্রথম দুটি নল ট্যাংক ভরতে সময় নেয় যথাক্রমে 40 সেকেন্ড ও 80 সেকেন্ড। অপর দুটি পাইপ ট্যাংক খালি করতে সময় নেয় যথাক্রমে 80 সেকেন্ড ও 160 সেকেন্ড। যখন সব নল খোলা হয় তখন ট্যাংকটি ভরতে কত সময় (সেকেন্ড) নেবে?
সঠিক উত্তর: (A) 53.33
ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):
প্রথমে, প্রতি সেকেন্ডে প্রতিটি নলের কার্যক্ষমতা (ট্যাংকের কত অংশ ভর্তি বা খালি করে) নির্ণয় করি:
যখন সব নল একসাথে খোলা থাকে, তখন ১ সেকেন্ডে ট্যাংকে মোট জল ভর্তি হয়:
= (ভর্তি করার নলের কার্যক্ষমতা) - (খালি করার নলের কার্যক্ষমতা)
= (1/40 + 1/80) - (1/80 + 1/160)
= 1/40 + 1/80 - 1/80 - 1/160
= 1/40 - 1/160 (এখানে +1/80 এবং -1/80 কাটাকাটি হয়ে যায়)
= (4 - 1) / 160 (লসাগু 160)
= 3/160 অংশ।
সুতরাং, ১ সেকেন্ডে ট্যাংকের 3/160 অংশ ভর্তি হয়।
সম্পূর্ণ ট্যাংক (1 অংশ) ভরতে মোট সময় লাগবে:
= 1 / (3/160)
= 160 / 3
≈ 53.33 সেকেন্ড।
একটি ত্রিভুজের বাহুগুলি হল 15 সেমি, 28 সেমি ও 41 সেমি। 28 সেমি বাহুর ওপর অবস্থিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?
সঠিক উত্তর: (D) 9 সেমি
ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):
ধাপ 1: হিরনের সূত্র ব্যবহার করে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়।
অর্ধ-পরিসীমা (s) = (15 + 28 + 41) / 2 = 84 / 2 = 42 সেমি।
ক্ষেত্রফল (Area) = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
= √[42(42-15)(42-28)(42-41)]
= √[42 × 27 × 14 × 1]
= √[(14×3) × (3×9) × 14]
= √[14² × 3² × 9] = 14 × 3 × 3 = 126 বর্গ সেমি।
ধাপ 2: লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয়।
আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ½ × ভূমি × উচ্চতা (লম্ব)
এখানে, ভূমি = 28 সেমি এবং উচ্চতা নির্ণয় করতে হবে।
126 = ½ × 28 × উচ্চতা
126 = 14 × উচ্চতা
উচ্চতা = 126 / 14 = 9 সেমি।