অধ্যায়: বিগত বছরের প্রশ্নপত্র (সেট 1)

ব্যাখ্যা: অ্যালকাইন হলো সেইসব হাইড্রোকার্বন যেখানে কার্বন-কার্বন ত্রি-বন্ধন (C≡C) থাকে। ত্রি-বন্ধন গঠন করার জন্য কমপক্ষে দুটি কার্বন পরমাণুর প্রয়োজন হয়। তাই এক-কার্বনযুক্ত কোনো অ্যালকাইন (যেমন মিথাইন) গঠন করা সম্ভব নয়। অ্যালকাইন গ্রুপের প্রথম সদস্যের দুটি কার্বন পরমাণু থাকে, যার রাসায়নিক নাম হলো ইথাইন (C₂H₂)। এর সাধারণ নাম অ্যাসিটিলিন।

ব্যাখ্যা: জামাকাপড় বিবর্ণ বা রঙহীন হয়ে যাওয়ার কারণ হলো কোনো বিরঞ্জক পদার্থের (Bleaching agent) ব্যবহার। ব্লিচিং পাউডার (CaOCl₂) একটি শক্তিশালী জারক পদার্থ এবং এটি রঙিন পদার্থকে জারিত করে বর্ণহীন করে দেয়। তাই ডিটারজেন্টের বদলে ব্লিচিং পাউডার ব্যবহার করলে জামাকাপড়ের রঙ উঠে যাবে বা বিবর্ণ হয়ে যাবে। অন্য বিকল্পগুলি (নুন, ট্যালকম পাউডার, বেকিং সোডা) বিরঞ্জক পদার্থ নয়।

ব্যাখ্যা: বাস্তুতন্ত্রের শক্তি পিরামিডের নিয়ম অনুযায়ী, শক্তির উৎস হলো উৎপাদক (সবুজ উদ্ভিদ), যা পুষ্টিস্তরের সবচেয়ে নীচে অবস্থান করে এবং এদের মধ্যে সর্বাধিক শক্তি সঞ্চিত থাকে। শক্তি যখন এক পুষ্টিস্তর থেকে পরবর্তী উচ্চ পুষ্টিস্তরে (খাদকের দিকে) যায়, তখন তার প্রায় 90% তাপশক্তি হিসেবে নষ্ট হয়, মাত্র 10% পরবর্তী স্তরে পৌঁছায়। তাই পুষ্টিস্তরের যত উপরে যাওয়া যায়, শক্তির পরিমাণ তত কমতে থাকে। বিবৃতি (C) এর ঠিক উল্টো কথা বলছে, তাই এটি ভুল।

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):
এখানে আমরা ওহমের সূত্র ব্যবহার করব।

ধাপ 1: প্রদত্ত মানগুলি লেখা

• বিভবপার্থক্য (V) = 24 V
• তড়িৎপ্রবাহ (I) = 96 mA (মিলিঅ্যাম্পিয়ার)

ধাপ 2: একক পরিবর্তন
ওহমের সূত্রে তড়িৎপ্রবাহের একক অ্যাম্পিয়ার (A) হতে হবে।
আমরা জানি, 1 A = 1000 mA.
সুতরাং, 96 mA = 96 / 1000 A = 0.096 A

ধাপ 3: ওহমের সূত্র প্রয়োগ
ওহমের সূত্রটি হলো: R = V / I (যেখানে R হলো রোধ)
মান বসিয়ে পাই,
R = 24 / 0.096
R = 24 / (96/1000)
R = (24 × 1000) / 96
R = 24000 / 96
R = 250 Ω (ওহম)
অতএব, পরিবাহীর রোধ হবে 250Ω।

ব্যাখ্যা: মেন্ডেলিভের পর্যায় সূত্রের মূল ভিত্তি ছিল যে, মৌলগুলিকে যদি তাদের ক্রমবর্ধমান পারমাণবিক ভর অনুযায়ী সাজানো হয়, তবে নির্দিষ্ট ব্যবধান অন্তর তাদের ভৌত ও রাসায়নিক ধর্মের পুনরাবৃত্তি ঘটে। অর্থাৎ, পারমাণবিক ভরের সাথে মৌলের ভৌত ও রাসায়নিক ধর্মের সম্পর্কই ছিল তাঁর পর্যায়সারণির মূল ভিত্তি।

ব্যাখ্যা: এই প্রশ্নের উত্তর ফ্লেমিং-এর বামহস্ত নিয়ম (Fleming's Left-Hand Rule) দ্বারা নির্ণয় করা যাবে।

• তর্জনী (Forefinger): চৌম্বকক্ষেত্রের দিক → উত্তর দিকে
• মধ্যমা (Middle finger): তড়িৎপ্রবাহের দিক → পশ্চিম দিকে
• বৃদ্ধাঙ্গুষ্ঠ (Thumb): পরিবাহীর উপর বল বা বিক্ষেপের দিক

এখন, আপনার বাম হাতটি এমনভাবে রাখুন যেন তর্জনী উত্তর দিকে এবং মধ্যমা পশ্চিম দিকে নির্দেশ করে। তাহলে দেখবেন আপনার বৃদ্ধাঙ্গুষ্ঠটি স্বাভাবিকভাবেই নীচের দিকে নির্দেশ করছে। সুতরাং, পরিবাহীটি নীচের দিকে বিক্ষিপ্ত হবে।

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):
আমরা জানি, দুটি সংখ্যার জন্য একটি গুরুত্বপূর্ণ সূত্র হলো:
সংখ্যা দুটির গুণফল = সংখ্যা দুটির গসাগু × সংখ্যা দুটির লসাগু

ধাপ 1: প্রদত্ত মানগুলি লেখা

• সংখ্যা দুটির গুণফল = 25
• গসাগু (HCF) = 5

ধাপ 2: সূত্রে মান বসানো
25 = 5 × লসাগু (LCM)

ধাপ 3: লসাগু নির্ণয়
লসাগু = 25 / 5
লসাগু = 5
(এখানে সংখ্যা দুটি হলো 5 এবং 5, যাদের গুণফল 25 এবং গসাগু 5।)

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রটি হলো:
ক্ষেত্রফল = ½ × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × উচ্চতা
(এখানে "ন্যূনতম দূরত্ব" বলতে উচ্চতা বোঝানো হয়েছে)।

ধাপ 1: প্রদত্ত মানগুলি লেখা

• সমান্তরাল বাহুদ্বয় = 3 একক এবং 5 একক
• উচ্চতা (ন্যূনতম দূরত্ব) = 6 একক

ধাপ 2: সূত্রে মান বসানো
ক্ষেত্রফল = ½ × (3 + 5) × 6
ক্ষেত্রফল = ½ × 8 × 6
ক্ষেত্রফল = 4 × 6
ক্ষেত্রফল = 24 বর্গএকক

ব্যাখ্যা: শ্রেণিবদ্ধ রাশিতথ্যের মধ্যমা (Median) নির্ণয়ের জন্য এটি একটি প্রমিত সূত্র। এখানে প্রতিটি প্রতীকের অর্থ হলো:

• L = মধ্যমা শ্রেণির নিম্নসীমা (Lower limit of the median class)
• N = মোট পরিসংখ্যা (Total frequency)
• CFo = মধ্যমা শ্রেণির ঠিক আগের শ্রেণির ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (Cumulative frequency of the class preceding the median class)
• F = মধ্যমা শ্রেণির পরিসংখ্যা (Frequency of the median class)
• H = শ্রেণি দৈর্ঘ্য (Class size)

এই সূত্রটি ব্যবহার করে মধ্যমা সঠিকভাবে নির্ণয় করা যায়।

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

ধাপ 1: সমীকরণ গঠন
ধরি, বড় সংখ্যাটি = x এবং ছোট সংখ্যাটি = y
প্রশ্ন অনুযায়ী,
x + y = 45 --- (1)
x - y = 19 --- (2)

ধাপ 2: সমীকরণ সমাধান
সমীকরণ (1) এবং (2) যোগ করে পাই:
(x + y) + (x - y) = 45 + 19
2x = 64
x = 64 / 2
x = 32

ধাপ 3: অন্য সংখ্যাটি নির্ণয়
x-এর মান সমীকরণ (1)-এ বসিয়ে পাই:
32 + y = 45
y = 45 - 32
y = 13
সুতরাং, সংখ্যা দুটি হলো 32 এবং 13।

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):
প্রদত্ত সমীকরণ: 6x² + x - 15 = 0
এখানে a = 6, b = 1, c = -15

ধাপ 1: বীজের যোগফল ও গুণফল নির্ণয়

• বীজের যোগফল (α + β) = -b/a = -1/6
• বীজের গুণফল (αβ) = c/a = -15/6 = -5/2

ধাপ 2: (α – β) নির্ণয়ের সূত্র প্রয়োগ
আমরা জানি, (α – β)² = (α + β)² - 4αβ
মান বসিয়ে পাই,
(α – β)² = (-1/6)² - 4(-5/2)
(α – β)² = 1/36 + 10
(α – β)² = (1 + 360) / 36
(α – β)² = 361 / 36

ধাপ 3: (α – β) এর মান নির্ণয়
(α – β) = √(361 / 36)
যেহেতু α > β, তাই (α – β) ধনাত্মক হবে।
(α – β) = 19 / 6

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

পর্ব 1: প্রথম ট্রেনের গতিবেগ নির্ণয়
ধরি, প্রথম ট্রেনের গতিবেগ = S₁ কিমি/ঘণ্টা
ব্যক্তির গতিবেগ = 8 কিমি/ঘণ্টা
যেহেতু তারা একই দিকে যাচ্ছে, আপেক্ষিক গতিবেগ = (S₁ - 8) কিমি/ঘণ্টা
এই গতিবেগকে মিটার/সেকেন্ডে পরিবর্তন করি: (S₁ - 8) × (5/18) মি/সে
অতিক্রম করার সময় দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য = 280 মিটার, সময় = 16 সেকেন্ড
সূত্র: দূরত্ব = গতিবেগ × সময়
280 = (S₁ - 8) × (5/18) × 16
280 × 18 = (S₁ - 8) × 80
(280 × 18) / 80 = S₁ - 8
63 = S₁ - 8
S₁ = 63 + 8 = 71 কিমি/ঘণ্টা

পর্ব 2: দুটি ট্রেন পরস্পরকে অতিক্রম করার সময় নির্ণয়
প্রথম ট্রেনের গতিবেগ (S₁) = 71 কিমি/ঘণ্টা
দ্বিতীয় ট্রেনের গতিবেগ (S₂) = 37 কিমি/ঘণ্টা
যেহেতু তারা বিপরীত দিক থেকে আসছে, আপেক্ষিক গতিবেগ = S₁ + S₂ = 71 + 37 = 108 কিমি/ঘণ্টা
আপেক্ষিক গতিবেগকে মি/সে-এ পরিবর্তন: 108 × (5/18) = 6 × 5 = 30 মি/সে
অতিক্রম করার সময় মোট দূরত্ব = দুটি ট্রেনের দৈর্ঘ্যের যোগফল = 280 + 380 = 660 মিটার
সূত্র: সময় = দূরত্ব / গতিবেগ
সময় = 660 / 30
সময় = 22 সেকেন্ড

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):
যেহেতু DE || AC, থেলসের উপপাদ্য অনুযায়ী ΔBDE এবং ΔBAC সদৃশকোণী ত্রিভুজ (ΔBDE ~ ΔBAC)।
সদৃশ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত তাদের অনুরূপ বাহুর বর্গের অনুপাতের সমান হয়।
AB = AD + BD = 2√2 + 4
অনুরূপ বাহু হলো BD এবং BA।
ক্ষেত্রফল(ΔBDE) / ক্ষেত্রফল(ΔBAC) = (BD/BA)² = [4 / (4 + 2√2)]²
= [4 / {2(2 + √2)}]² = [2 / (2 + √2)]²
= 4 / (4 + 2 + 4√2) = 4 / (6 + 4√2) = 2 / (3 + 2√2)
এখন, ক্ষেত্রফল(ট্রাপিজিয়াম ADEC) = ক্ষেত্রফল(ΔBAC) - ক্ষেত্রফল(ΔBDE)
ধরি, ক্ষেত্রফল(ΔBDE) = 2k এবং ক্ষেত্রফল(ΔBAC) = (3 + 2√2)k
তাহলে, ক্ষেত্রফল(ADEC) = (3 + 2√2)k - 2k = (1 + 2√2)k
এখন অনুপাত নির্ণয় করি:
ক্ষেত্রফল(ΔBDE) : ক্ষেত্রফল(ADEC) = 2k : (1 + 2√2)k = 2 : (1+2√2)

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):
যেকোনো সুষম বহুভুজের সমস্ত বহিঃকোণগুলির সমষ্টি সর্বদা 360° হয়।
বাহুসংখ্যা নির্ণয়ের সূত্রটি হলো:
বাহুসংখ্যা (n) = 360° / প্রতিটি বহিঃকোণের মান
এখানে, প্রতিটি বহিঃকোণ = 40°
বাহুসংখ্যা = 360 / 40
বাহুসংখ্যা = 9
সুতরাং, বহুভুজটি একটি নন্যাগন (নবভুজ)।

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):
এটি একটি সমানুপাতের সমস্যা। সমানুপাতের নিয়ম অনুযায়ী, প্রান্তীয় পদ দুটির গুণফল মধ্যবর্তী পদ দুটির গুণফলের সমান হয়।
অর্থাৎ, a : b :: c : d হলে, a × d = b × c
এখানে, 9.6 × x = 16.8 × 18
x = (16.8 × 18) / 9.6
দশমিক তোলার জন্য উপরে ও নিচে 10 দিয়ে গুণ করে পাই:
x = (168 × 18) / 96
(168 এবং 96 কে 24 দিয়ে ভাগ করা যায়: 168/24 = 7; 96/24 = 4)
x = (7 × 18) / 4
x = (7 × 9) / 2
x = 63 / 2
x = 31.5

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

ধাপ 1: সমীকরণ গঠন
ধরি, 1টি টেবিলের মূল্য = T টাকা এবং 1টি চেয়ারের মূল্য = C টাকা।
প্রশ্ন অনুযায়ী,
2T + 3C = 540 --- (1)
2T + 1C = 470 --- (2)

ধাপ 2: একটি চেয়ারের মূল্য নির্ণয়
সমীকরণ (1) থেকে সমীকরণ (2) বিয়োগ করে পাই:
(2T + 3C) - (2T + C) = 540 - 470
2C = 70
C = 70 / 2
C = 35
অর্থাৎ, 1টি চেয়ারের মূল্য 35 টাকা।

ধাপ 3: 5টি চেয়ারের মূল্য নির্ণয়
5টি চেয়ারের মূল্য = 5 × C = 5 × 35 = 175 টাকা।