(A) 8 (B) 16 (C) 5 (D) কোনটিই নয়
সঠিক উত্তর: (B) 16
ব্যাখ্যা:
ধাপ 1: সমীকরণের বাম দিকটি সরল করি।
√(16/25) = 4/5
এখন সমীকরণটি হলো: (4/5) × (√?/√25) × (16/25) = 256/625
(4/5) × (√?/5) × (16/25) = 256/625
ধাপ 2: √?-কে আলাদা করি।
(4 × √? × 16) / (5 × 5 × 25) = 256/625
(64 × √?) / 625 = 256/625
ধাপ 3: উভয় দিক থেকে 625 বাদ দেওয়া যায়।
64 × √? = 256
√? = 256 / 64
√? = 4
ধাপ 4: প্রশ্নচিহ্নের (?) মান পেতে উভয় দিকে বর্গ করি।
(?) = 4² = 16
সুতরাং, সঠিক উত্তর 16।
(A) 9908 (B) 9900 (C) 9899 (D) 9801
সঠিক উত্তর: (D) 9801
ব্যাখ্যা:
ধাপ 1: 9909-এর কাছাকাছি পূর্ণবর্গ সংখ্যা বের করি।
আমরা জানি 100² = 10000, যা 9909 থেকে বড়।
সুতরাং, এর আগের পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি হবে 99²।
ধাপ 2: 99² এর মান বের করি।
99² = (100 - 1)² = 100² - 2×100×1 + 1² = 10000 - 200 + 1 = 9801
9801 হলো 9909-এর ঠিক আগের পূর্ণবর্গ সংখ্যা।
(A) 6.1/34 (B) 19/31 (C) 19/32 (D) 19/33
সঠিক উত্তর: (C) 19/32
ব্যাখ্যা:
ধাপ 1: বর্গমূলের ভেতর থেকে দশমিক তুলে দেওয়ার জন্য লব ও হরকে 10 দিয়ে গুণ করি।
√(36.1 / 102.4) = √(361 / 1024)
ধাপ 2: এবার লব ও হরের আলাদাভাবে বর্গমূল করি।
√361 = 19
√1024 = 32 (কারণ 30² = 900 এবং 32² = 1024)
সুতরাং, ফলাফল হলো 19/32।
(A) 54 (B) 65 (C) 108 (D) 432
সঠিক উত্তর: (A) 54
ব্যাখ্যা:
ধাপ 1: প্রশ্ন অনুযায়ী সমীকরণটি লিখি। ধরা যাক, সংখ্যাটি x।
2 × x² = 18³
ধাপ 2: 18³ এর মান বের করি।
18³ = 18 × 18 × 18 = 5832
ধাপ 3: সমীকরণটি সমাধান করি।
2x² = 5832
x² = 5832 / 2
x² = 2916
ধাপ 4: x এর মান বের করতে 2916-এর বর্গমূল করি।
x = √2916
আমরা জানি 50² = 2500 এবং 60² = 3600। সংখ্যাটির শেষে 6 আছে, তাই বর্গমূলের শেষে 4 বা 6 থাকবে।
54² = (50+4)² = 2500 + 400 + 16 = 2916
সুতরাং, x = 54।
(A) 6 (B) 3 (C) 5 (D) 2
সঠিক উত্তর: (A) 6
ব্যাখ্যা:
ধাপ 1: প্রথমে 26244 সংখ্যাটির মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ করি।
26244 = 2 × 13122
= 2 × 2 × 6561
= 2² × 81 × 81
= 2² × 9² × 9²
= 2² × (3²)² × (3²)²
= 2² × 3⁴ × 3⁴ = 2² × 3⁸
ধাপ 2: একটি সংখ্যা পূর্ণঘন হতে হলে তার মৌলিক উৎপাদকগুলির ঘাত (power) 3 দ্বারা বিভাজ্য হতে হয়।
এখানে 2-এর ঘাত 2 এবং 3-এর ঘাত 8।
2²-কে পূর্ণঘন করতে হলে একটি 2 দিয়ে গুণ করতে হবে (2² × 2¹ = 2³)।
3⁸-কে পূর্ণঘন করতে হলে একটি 3 দিয়ে গুণ করতে হবে (3⁸ × 3¹ = 3⁹, 9 সংখ্যাটি 3 দ্বারা বিভাজ্য)।
ধাপ 3: সুতরাং, মোট গুণ করতে হবে 2 × 3 = 6 দিয়ে।
গুণ করলে সংখ্যাটি হবে (2² × 3⁸) × (2 × 3) = 2³ × 3⁹ = (2 × 3³)³ যা একটি পূর্ণঘন সংখ্যা।
(A) 15 (B) 16 (C) 18 (D) 20
সঠিক উত্তর: (A) 15
ব্যাখ্যা:
ধাপ 1: ধরা যাক, সংখ্যাটি x। প্রশ্ন অনুযায়ী সমীকরণটি হলো:
x + x² = 240
ধাপ 2: আমরা বিকল্পগুলি পরীক্ষা করে দেখতে পারি।
বিকল্প (A) 15: 15 + 15² = 15 + 225 = 240। এটি মিলে যাচ্ছে।
বিকল্প (B) 16: 16 + 16² = 16 + 256 = 272 (মিলছে না)
যেহেতু প্রথম বিকল্পটিই সঠিক, তাই উত্তর হলো 15।
(A) 97 (B) 36 (C) 65 (D) 81
সঠিক উত্তর: (D) 81
ব্যাখ্যা:
এই প্রশ্নটির অর্থ হলো 36562 থেকে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা বাদ দিলে সেটি পূর্ণবর্গ হবে।
ধাপ 1: 36562-এর বর্গমূল নির্ণয় করি।
190² = 36100
191² = (190+1)² = 36100 + 380 + 1 = 36481
192² = 36864 (বেশি হয়ে যাচ্ছে)
ধাপ 2: সুতরাং, 36562 জন সেনা দিয়ে সবচেয়ে বড় যে বর্গক্ষেত্র বানানো যাবে তার প্রতি সারিতে 191 জন সেনা থাকবে। এর জন্য মোট সেনা লাগবে 191² = 36481 জন।
ধাপ 3: বাড়তি সেনার সংখ্যা = মোট সেনা - ব্যবহৃত সেনা
= 36562 - 36481 = 81
সুতরাং, 81 জন সেনা বাড়তি হয়েছিল।
(A) 0.632 (B) 0.447 (C) 0.2 (D) 0.02
সঠিক উত্তর: (B) 0.447
ব্যাখ্যা:
ধাপ 1: √0.2 = √(2/10) = √(1/5) = 1/√5
ধাপ 2: আমরা জানি √4 = 2 এবং √9 = 3। সুতরাং √5-এর মান 2 এবং 3 এর মধ্যে থাকবে (প্রায় 2.236)।
1 / √5 = 1 / 2.236
ধাপ 3: বিকল্পগুলি পরীক্ষা করি।
(0.447)² ≈ 0.45 × 0.45 ≈ 0.2025, যা 0.2-এর খুব কাছাকাছি।
(0.632)² ≈ 0.6 × 0.6 = 0.36
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 0.447।
(A) 2^(9/2) (B) 2^(111/2) (C) 2^(31/32) (D) 2^(29/31)
সঠিক উত্তর: 2^(15/16) (দ্রষ্টব্য: প্রদত্ত বিকল্পগুলির মধ্যে সঠিক উত্তর নেই)
ব্যাখ্যা:
এই ধরনের সমস্যার জন্য একটি সূত্র আছে: `x^((2^n - 1) / 2^n)`
এখানে, x = 2 এবং n = রুটের সংখ্যা = 4।
ধাপ 1: সূত্র অনুযায়ী মান বসাই।
2^((2⁴ - 1) / 2⁴)
ধাপ 2: সমাধান করি।
= 2^((16 - 1) / 16)
= 2^(15/16)
প্রদত্ত বিকল্পগুলির কোনোটিই 2^(15/16) নয়। বিকল্প (C) 2^(31/32) হতো যদি রুটের সংখ্যা 5 হতো। প্রশ্ন বা বিকল্পে ত্রুটি থাকার সম্ভাবনা রয়েছে।
(A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) √2
সঠিক উত্তর: (A) 2
ব্যাখ্যা:
ধাপ 1: প্রথমে প্রতিটি বর্গমূলকে সরল করি।
√32 = √(16 × 2) = 4√2
√48 = √(16 × 3) = 4√3
√8 = √(4 × 2) = 2√2
√12 = √(4 × 3) = 2√3
ধাপ 2: সরলীকৃত মানগুলি বসাই।
(4√2 + 4√3) / (2√2 + 2√3)
ধাপ 3: লব থেকে 4 এবং হর থেকে 2 কমন নিই।
= [4(√2 + √3)] / [2(√2 + √3)]
ধাপ 4: (√2 + √3) ওপর ও নিচ থেকে কেটে যায়।
= 4 / 2 = 2
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 2।
(A) 1/√2 (B) √2 (C) 2√2 (D) 1/(2√2)
সঠিক উত্তর: (B) √2
ব্যাখ্যা:
ধাপ 1: আমরা জানি a⁻ⁿ = 1/aⁿ। এখানে ঋণাত্মক (-) ঘাত থাকার কারণে বেস (base) উল্টে যাবে।
(1/2)^(-1/2) = (2/1)^(1/2) = 2^(1/2)
ধাপ 2: আমরা জানি a^(1/2) = √a।
2^(1/2) = √2
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো √2।
(A) 1000 (B) 1024 (C) 1089 (D) 1156
সঠিক উত্তর: (B) 1024
ব্যাখ্যা:
ধাপ 1: চার অঙ্কের সবচেয়ে ছোটো সংখ্যা হলো 1000।
ধাপ 2: 1000-এর বর্গমূল নির্ণয় করি।
√1000 ≈ 31.6
ধাপ 3: এর থেকে বোঝা যায় যে চার অঙ্কের সবচেয়ে ছোটো পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি হবে 31-এর পরবর্তী পূর্ণ সংখ্যা, অর্থাৎ 32-এর বর্গ।
ধাপ 4: 32-এর বর্গ নির্ণয় করি।
32² = 32 × 32 = 1024
1024 হলো চার অঙ্কের সবচেয়ে ছোটো পূর্ণবর্গ সংখ্যা।
(A) 30 (B) 28 (C) 29 (D) 27
সঠিক উত্তর: (C) 29
ব্যাখ্যা:
ধাপ 1: ধরা যাক সংখ্যাটি x। প্রশ্ন অনুযায়ী সমীকরণটি হলো:
x² + 59 = 900
ধাপ 2: সমীকরণটি সমাধান করি।
x² = 900 - 59
x² = 841
ধাপ 3: x-এর মান পেতে 841-এর বর্গমূল করি।
x = √841
আমরা জানি 30² = 900। 841 এর শেষে 1 আছে, তাই এর বর্গমূলের শেষে 1 বা 9 থাকবে।
29² = (30-1)² = 900 - 60 + 1 = 841
সুতরাং, সংখ্যাটি হলো 29।
(A) 5 ও 6 (B) 4 ও 5 (C) 6 ও 7 (D) 7 ও 8
সঠিক উত্তর: (প্রদত্ত প্রশ্ন এবং বিকল্পগুলিতে অসামঞ্জস্য রয়েছে)
ব্যাখ্যা:
আমরা বিকল্পগুলি পরীক্ষা করে দেখব। ধরা যাক সংখ্যা দুটি x এবং y। x³ - y³ = 127।
(A) 5 ও 6:
6³ = 216
5³ = 125
অন্তরফল = 216 - 125 = 91 (মিলছে না)
(B) 4 ও 5:
5³ = 125
4³ = 64
অন্তরফল = 125 - 64 = 61 (মিলছে না)
সম্ভাব্য ত্রুটি: প্রশ্নটিতে সম্ভবত অন্তরফল 91 হওয়ার কথা ছিল, সেক্ষেত্রে উত্তর (A) হতো, অথবা অন্তরফল 61 হলে উত্তর (B) হতো। যদি প্রশ্নটি দুটি সংখ্যার বর্গের অন্তরফল 127 হতো, তাহলেও কোনো বিকল্প মিলছে না। যদি প্রশ্নটি এমন হতো যে 6³ - x³ = 127, তাহলে x³ = 216-127 = 89, যা পূর্ণঘন নয়।
প্রদত্ত প্রশ্ন এবং বিকল্পগুলিতে অসামঞ্জস্য রয়েছে।
(A) 600 (B) 300 (C) 30 (D) 60
সঠিক উত্তর: (D) 60
ব্যাখ্যা:
ধাপ 1: প্রথম n-সংখ্যক ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল হলো n²।
(1+3+5): এখানে 3টি বিজোড় সংখ্যা আছে, যোগফল = 3² = 9
(1+3+5+7): এখানে 4টি বিজোড় সংখ্যা আছে, যোগফল = 4² = 16
(1+3+5+7+9): এখানে 5টি বিজোড় সংখ্যা আছে, যোগফল = 5² = 25
ধাপ 2: এখন মানগুলি বসাই।
√(9 × 16 × 25)
ধাপ 3: বর্গমূল নির্ণয় করি।
= √9 × √16 × √25
= 3 × 4 × 5
= 60
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 60।
(A) 1 (B) 8/23 (C) 4/9 (D) 8/22
সঠিক উত্তর: (B) 8/23
ব্যাখ্যা:
ধাপ 1: প্রদত্ত রাশিটিকে সরল করার চেষ্টা করি।
লব (Numerator): 4x² + 4 = 4(x² + 1)
হর (Denominator): 9x² + 10x + 9 = 9(x² + 1) + 10x
ধাপ 2: আমাদের দেওয়া আছে x + 1/x = 4। এই সমীকরণের উভয় দিকে x দিয়ে গুণ করি।
x(x + 1/x) = 4x
x² + 1 = 4x
ধাপ 3: এখন x² + 1 = 4x মানটি মূল রাশিতে বসাই।
লব = 4(4x) = 16x
হর = 9(4x) + 10x = 36x + 10x = 46x
ধাপ 4: এখন ভাগ করি।
(16x) / (46x) = 16/46 = 8/23
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 8/23।
(A) 9.5 (B) 0.75 (C) 1.5 (D) 14.25
সঠিক উত্তর: (C) 1.5
ব্যাখ্যা:
ধাপ 1: এই অঙ্কটি a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) সূত্রের উপর ভিত্তি করে তৈরি।
ধরা যাক, a = 5.5 এবং b = 4।
লব (Numerator) = a³ - b³
ধাপ 2: হর (Denominator) পরীক্ষা করি।
30.25 = (5.5)² = a²
16 = 4² = b²
22 = 5.5 × 4 = ab
সুতরাং, হর হলো a² + ab + b²।
ধাপ 3: এখন রাশিটি দাঁড়ালো: (a³ - b³) / (a² + ab + b²)
সূত্র অনুযায়ী, এটি সরল করলে হয় (a - b)।
ধাপ 4: মান নির্ণয় করি।
a - b = 5.5 - 4 = 1.5
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 1.5।
(A) 27 (B) 13 (C) 18 (D) 24
সঠিক উত্তর: (B) 13
ব্যাখ্যা:
ধাপ 1: আমাদের 1212-এর ঠিক পরের পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি খুঁজে বের করতে হবে।
আমরা জানি, 30² = 900 এবং 40² = 1600। উত্তরটি 30 ও 40 এর মধ্যে হবে।
ধাপ 2: পরীক্ষা করি:
34² = 1156
35² = 1225
1225 হলো 1212-এর ঠিক পরের পূর্ণবর্গ সংখ্যা।
ধাপ 3: কত যোগ করতে হবে তা বের করি।
প্রয়োজনীয় সংখ্যা = 1225 - 1212 = 13
সুতরাং, 1212-এর সঙ্গে 13 যোগ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে।