অধ্যায়: Square-Square Root, Cube-Cube Root

CLASS NO: 04

1. পূর্ণবর্গ সংখ্যা খোঁজার নিয়ম (What to Add/Subtract)

সমস্যা: কোনো সংখ্যার সাথে কত যোগ বা বিয়োগ করলে তা পূর্ণবর্গ হবে? (প্রশ্ন 1, 16, 17, 27, 38)

• কত বিয়োগ করতে হবে (What to subtract):
  1. প্রদত্ত সংখ্যাটির কাছাকাছি বর্গমূল বের করুন (ভাগ প্রক্রিয়ার সাহায্যে)।
  2. যে ভাগশেষ (remainder) থাকবে, সেটিই হলো উত্তর। ওই সংখ্যাটি বাদ দিলেই আগের পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি পাওয়া যাবে।

  উদাহরণ (প্রশ্ন 27): 36562-এর বর্গমূল করলে ভাগফল হয় 191 এবং ভাগশেষ থাকে 81। সুতরাং, 81 বাদ দিতে হবে।

• কত যোগ করতে হবে (What to add):
  1. প্রদত্ত সংখ্যাটির কাছাকাছি বর্গমূল বের করুন। ধরা যাক, ভাগফল হলো n।
  2. এর পরের পূর্ণ সংখ্যাটি হলো (n+1)।
  3. (n+1)² -এর মান বের করুন।
  4. প্রয়োজনীয় সংখ্যা = (n+1)² - (প্রদত্ত সংখ্যা)।

  উদাহরণ (প্রশ্ন 17): 2600-এর কাছাকাছি বর্গমূল 50 (50²=2500)। পরের সংখ্যা 51। 51² = 2601। অতএব, যোগ করতে হবে 2601 - 2600 = 1।

2. একক ঘরের অঙ্ক দেখে বর্গমূল অনুমান (Unit Digit Trick)

সমস্যা: বড় সংখ্যার বর্গমূল দ্রুত অনুমান করা। (প্রশ্ন 5, 18, 22)

• নিয়ম:
  • যদি কোনো পূর্ণবর্গ সংখ্যার শেষে 1 থাকে, তার বর্গমূলের শেষে 1 বা 9 থাকবে।
  • যদি শেষে 4 থাকে, বর্গমূলের শেষে 2 বা 8 থাকবে।
  • যদি শেষে 5 থাকে, বর্গমূলের শেষে 5 থাকবে।
  • যদি শেষে 6 থাকে, বর্গমূলের শেষে 4 বা 6 থাকবে।
  • যদি শেষে 9 থাকে, বর্গমূলের শেষে 3 বা 7 থাকবে।
  • মনে রাখবেন: কোনো পূর্ণবর্গ সংখ্যার শেষে 2, 3, 7, 8 থাকে না।
• উদাহরণ (প্রশ্ন 18): x² = 12544। এর বর্গমূল বের করতে হবে।
  1. শেষে 4 আছে, তাই বর্গমূলের শেষে 2 বা 8 থাকবে।
  2. আমরা জানি 110² = 12100 এবং 120² = 14400। উত্তর 110 ও 120 এর মধ্যে।
  3. যেহেতু শেষে 2 বা 8 থাকতে পারে, সম্ভাব্য উত্তর 112 বা 118। 112² করে দেখলেই উত্তর মিলে যাবে।

3. বীজগণিতের সূত্র (Algebraic Formulas)

এই সূত্রগুলো অনেক অঙ্ককে খুব সহজ করে দেয়।

• a² - b² = (a + b)(a - b)

  প্রয়োগ (প্রশ্ন 18): x² - 78² = 6460 ⇒ x² = 6460 + 78²

• a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

  প্রয়োগ (প্রশ্ন 37): (5.5³ - 4³) / (5.5² + 5.5×4 + 4²) = (a³ - b³) / (a² + ab + b²) = (a - b) = 5.5 - 4 = 1.5

• a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
• (a + b)² = a² + 2ab + b² এবং (a - b)² = a² - 2ab + b²

4. করণী সরলীকরণ ও নিরসন (Simplification of Surds)

সমস্যা: রুটের মধ্যে থাকা রাশির যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ। (প্রশ্ন 3, 13, 15, 30)

• করণী নিরসন (Rationalization): হরে (denominator) যদি √a + √b থাকে, তবে লব ও হরকে √a - √b দিয়ে গুণ করতে হয়।

  উদাহরণ (প্রশ্ন 13): (2 + √3) / (2 - √3)। এখানে লব ও হরকে (2 + √3) দিয়ে গুণ করা হয়েছে।

• কমন নেওয়া: অঙ্ককে সহজ করার জন্য কমন নেওয়া খুব জরুরি।

  উদাহরণ (প্রশ্ন 30): (√32 + √48) / (√8 + √12)
  = (4√2 + 4√3) / (2√2 + 2√3)
  = 4(√2 + √3) / 2(√2 + √3) = 4/2 = 2

5. বিশেষ সিরিজ বা ধারার সূত্র (Formulas for Special Series)

সমস্যা: নির্দিষ্ট প্যাটার্নে থাকা সিরিজের যোগফল। (প্রশ্ন 15, 35)

• ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল: প্রথম n-সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার যোগফল হলো n²।

  প্রয়োগ (প্রশ্ন 35): (1+3+5) = 3টি সংখ্যা, যোগফল 3² = 9। (1+3+5+7) = 4টি সংখ্যা, যোগফল 4² = 16।

• টেলিস্কোপিক সিরিজ (Telescopic Series):
  • সূত্র: 1/(√a + √b) = (√b - √a) / (b-a)
  • প্রয়োগ (প্রশ্ন 15): 1/(√1 + √2) + 1/(√2 + √3) + ...
    প্রতিটি পদের মান হয় (√2 - √1), (√3 - √2), ... ইত্যাদি।
    মাঝের সব পদ কেটে গিয়ে শুধু প্রথম পদের শেষ অংশ (–√1) এবং শেষ পদের প্রথম অংশ (+√100) থেকে যায়। উত্তর: √100 - √1 = 10 - 1 = 9।

6. সূচকের নিয়ম (Rules of Indices)

সমস্যা: ঘাত বা পাওয়ার সংক্রান্ত অঙ্ক। (প্রশ্ন 29, 31)

• a⁻ⁿ = 1/aⁿ (প্রশ্ন 31)
• a^(m/n) = ⁿ√aᵐ (প্রশ্ন 31)
• শর্টকাট (প্রশ্ন 29): যদি √x√x√x... n বার থাকে, তবে তার মান হয় x^((2ⁿ - 1) / 2ⁿ)।

  উদাহরণ: √2√2√2√2 (এখানে x=2, n=4)
  মান = 2^((2⁴ - 1) / 2⁴) = 2^((16 - 1) / 16) = 2^(15/16)

7. সাধারণ স্মার্ট কৌশল (General Smart Tricks)

• অপশন টেস্ট করা (Option Testing): সমীকরণ সমাধান না করে বিকল্পগুলি বসিয়ে উত্তর মেলানো অনেক সময় সহজ হয়। (প্রশ্ন 26)
• অনুমান করা (Estimation): সঠিক উত্তর বের করার আগে কাছাকাছি একটা মান অনুমান করুন। এতে ভুল বিকল্পগুলি সহজেই বাদ দেওয়া যায়। (প্রশ্ন 28)
• ভাগ ও গুণ সরল করা: সরাসরি গুণ বা ভাগ না করে উৎপাদকে ভেঙে কাটাকাটি করলে অঙ্ক সহজ হয়। (প্রশ্ন 20)