(A) 460 (B) 462 (C) 464 (D) 466
সঠিক উত্তর: (C) 464
ব্যাখ্যা:
ধাপ 1: প্রথমে আমাদের 306452-এর কাছাকাছি পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি খুঁজে বের করতে হবে। এর জন্য আমরা 306452-এর বর্গমূল নির্ণয় করব।
√306452 ≈ 553.58
ধাপ 2: এর থেকে বোঝা যাচ্ছে যে সংখ্যাটি 553² এবং 554²-এর মধ্যে অবস্থিত।
553² = 305809 (এটি 306452 থেকে ছোট)
পরবর্তী পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি হলো 554²।
554² = 554 × 554 = 306916
ধাপ 3: এখন, 306452-এর সাথে কত যোগ করলে 306916 হবে তা বের করতে হবে।
প্রয়োজনীয় সংখ্যা = 306916 - 306452 = 464
সুতরাং, 306452-এর সঙ্গে 464 যোগ করলে যোগফলটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা (554²) হবে।
(A) 6 (B) 1296 (C) 625 (D) 36
সঠিক উত্তর: (A) 6
ব্যাখ্যা:
ধাপ 1: প্রথমে সমীকরণের বাম দিকের মান বের করি।
√1296 = 36 (কারণ 36 × 36 = 1296)
ধাপ 2: এখন সমীকরণটি দাঁড়ালো:
36 = (?)²
ধাপ 3: প্রশ্নচিহ্ন (?) এর মান বের করার জন্য 36-এর বর্গমূল করতে হবে।
? = √36 = 6
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 6।
(A) 2√6 (B) 6√2 (C) 1.0204 (D) (1/3)√6
সঠিক উত্তর: 2 (দ্রষ্টব্য: প্রদত্ত বিকল্পগুলির মধ্যে সঠিক উত্তর নেই)
ব্যাখ্যা:
ধাপ 1: প্রথমে প্রতিটি বর্গমূলকে সরলীকরণ করি, যাতে সবগুলোর মধ্যে একটি সাধারণ উৎপাদক (√6) থাকে।
√24 = √(4 × 6) = 2√6
√216 = √(36 × 6) = 6√6
√96 = √(16 × 6) = 4√6
ধাপ 2: এখন সরলীকৃত মানগুলি বসাই।
(2√6 + 6√6) / 4√6
= (8√6) / (4√6)
ধাপ 3: ওপর এবং নিচ থেকে √6 কেটে যায়।
= 8 / 4 = 2
গণনা অনুযায়ী সঠিক উত্তর হলো 2, যা বিকল্পগুলির মধ্যে নেই। সম্ভবত প্রশ্ন বা বিকল্পে কোনো ত্রুটি রয়েছে।
(A) 0.3 (B) 0.03 (C) √0.18 (D) কোনটিই নয়
সঠিক উত্তর: (D) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা:
ধাপ 1: প্রতিটি সংখ্যার বর্গমূল নির্ণয় করি।
√0.01 = √(1/100) = 1/10 = 0.1
√0.0064 = √(64/10000) = 8/100 = 0.08
ধাপ 2: এখন মান দুটি যোগ করি।
0.1 + 0.08 = 0.18
প্রদত্ত বিকল্পগুলির মধ্যে 0.18 নেই। তাই সঠিক উত্তর (D) কোনটিই নয়।
(A) 803 (B) 363 (C) 253 (D) কোনটিই নয়
সঠিক উত্তর: (C) 253
ব্যাখ্যা:
ধাপ 1: সংখ্যাটির শেষ অঙ্কটি হলো 9। কোনো সংখ্যার বর্গমূলের শেষ অঙ্ক 3 বা 7 হলে, তার বর্গের শেষ অঙ্ক 9 হয়। তাই উত্তরটির শেষ অঙ্ক 3 বা 7 হবে। বিকল্প (A), (B), এবং (C) এর শেষ অঙ্ক 3।
ধাপ 2: আমরা বিকল্পগুলি পরীক্ষা করতে পারি।
250² = 62500
260² = 67600
যেহেতু 64009 সংখ্যাটি 62500-এর কাছাকাছি, তাই উত্তরটি 250-এর কাছাকাছি হবে।
আসুন 253 পরীক্ষা করি: 253 × 253 = 64009
সুতরাং, √64009 = 253।
(A) 24.75 (B) 27.25 (C) 25 (D) 35
সঠিক উত্তর: (C) 25
ব্যাখ্যা:
ধাপ 1: আমরা জানি √(a/b) = √a / √b। এই সূত্রটি ব্যবহার করে আমরা লিখতে পারি:
√4375 / √7 = √(4375 / 7)
ধাপ 2: এখন 4375-কে 7 দিয়ে ভাগ করি।
4375 ÷ 7 = 625
ধাপ 3: এখন আমাদের নির্ণয় করতে হবে √625।
√625 = 25 (কারণ 25 × 25 = 625)
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 25।
(A) √3 / 2 (B) 2 / √3 (C) 3 / 2 (D) √(3/2)
সঠিক উত্তর: (C) 3 / 2
ব্যাখ্যা:
পদ্ধতি ১: সরলীকরণ
√288 = √(144 × 2) = 12√2
√128 = √(64 × 2) = 8√2
এখন, (12√2) / (8√2) = 12 / 8 = 3 / 2
পদ্ধতি ২: ভাগ
√288 / √128 = √(288 / 128)
288 এবং 128 উভয়কেই 32 দিয়ে ভাগ করা যায়। 288/32 = 9 এবং 128/32 = 4।
= √(9/4)
= √9 / √4 = 3 / 2
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 3/2।
(A) 129 (B) 119 (C) 121 (D) কোনটিই নয়
সঠিক উত্তর: (D) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা:
ধাপ 1: পূর্ণবর্গ সংখ্যার শেষে 2, 3, 7 বা 8 থাকে না। 1716 এর শেষে 6 আছে, তাই এটি পূর্ণবর্গ হতে পারে।
ধাপ 2: কাছাকাছি বর্গ সংখ্যা দেখি।
40² = 1600
50² = 2500
উত্তরটি 40 এবং 50-এর মধ্যে হবে। সংখ্যাটির শেষে 6 থাকায়, এর বর্গমূলের শেষে 4 অথবা 6 থাকবে (4²=16, 6²=36)।
ধাপ 3: সম্ভাব্য উত্তর হতে পারে 44 বা 46।
44² = 1936 (বেশি)
41² = 1681
42² = 1764
সুতরাং, 1716 কোনো পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়। এর বর্গমূল একটি দশমিক সংখ্যা হবে (প্রায় 41.42)। প্রদত্ত বিকল্পগুলির কোনোটিই সঠিক নয়।
(A) 0.048 (B) 0.084 (C) 0.48 (D) 0.84
সঠিক উত্তর: (D) 0.84
ব্যাখ্যা:
ধাপ 1: প্রথমে বর্গমূল দুটিকে সরল করি।
√0.441 = √(441 / 1000)
√0.625 = √(625 / 1000)
এখানে একটি বিষয় লক্ষ্য করার মতো, 0.625 একটি পূর্ণবর্গ নয়। প্রশ্নটিতে সম্ভবত √0.0625 বা √6.25 হওয়ার কথা ছিল। যদি আমরা √0.625 ধরে এগোই, তবে উত্তর মেলানো কঠিন হবে। প্রশ্নটিতে সম্ভবত একটি টাইপিং ত্রুটি আছে এবং এটি √0.625 এর বদলে √6.25 হবে অথবা √0.0625 হবে।
সঠিক প্রশ্ন ধরে সমাধান (যদি প্রশ্নটি √0.441 / √0.0625 হতো):
√0.441 = 0.21
√0.0625 = 0.25
0.21 / 0.25 = 21/25 = (21×4)/(25×4) = 84/100 = 0.84
আরেকটি সম্ভাবনা (যদি প্রশ্নটি √4.41 / √6.25 হতো):
√4.41 = 2.1
√6.25 = 2.5
2.1 / 2.5 = 21 / 25 = 0.84
উভয় ক্ষেত্রেই উত্তর 0.84 আসছে, যা বিকল্প (D) এর সাথে মেলে।
(A) 8 (B) 576 (C) 49 (D) 24
সঠিক উত্তর: (B) 576
ব্যাখ্যা:
ধাপ 1: সমীকরণটি সমাধান করি।
6 / 50 = √? / 200
√? = (6 × 200) / 50
√? = 6 × 4
√? = 24
ধাপ 2: প্রশ্নচিহ্নের (?) মান বের করতে উভয় দিকে বর্গ (square) করি।
(?) = 24²
(?) = 576
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 576।
(A) 14 (B) 16 (C) 16.6 (D) 18.8
সঠিক উত্তর: (B) 16
ব্যাখ্যা:
এই ধরনের অঙ্ক সবসময় সবচেয়ে ভেতরের বর্গমূল থেকে শুরু করতে হয়।
ধাপ 1: √144 = 12
ধাপ 2: এখন সমীকরণটি দাঁড়ালো √(248 + √(52 + 12))
= √(248 + √64)
ধাপ 3: √64 = 8
ধাপ 4: এখন সমীকরণটি দাঁড়ালো √(248 + 8)
= √256
ধাপ 5: √256 = 16
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 16।
(A) 25 (B) 250 (C) 625 (D) 2500
সঠিক উত্তর: (C) 625
ব্যাখ্যা:
ধাপ 1: সমীকরণটিকে সাজিয়ে লিখি।
√? = 250 / 10
√? = 25
ধাপ 2: প্রশ্নচিহ্নের (?) মান বের করতে উভয় দিকে বর্গ (square) করি।
(?) = 25²
(?) = 625
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 625।
(A) 11.732 (B) 13.928 (C) 12.928 (D) 13.925
সঠিক উত্তর: (B) 13.928
ব্যাখ্যা:
ধাপ 1: প্রথমে আমরা হরের করণী নিরসন (rationalization) করব। এর জন্য লব ও হরকে হরের অনুবন্ধী করণী (conjugate) অর্থাৎ (2 + √3) দিয়ে গুণ করব।
= [(2 + √3) × (2 + √3)] / [(2 - √3) × (2 + √3)]
ধাপ 2: লব (Numerator) হয় (2 + √3)² এবং হর (Denominator) হয় (a-b)(a+b) = a² - b² সূত্র অনুযায়ী 2² - (√3)²।
লব = 2² + 2×2×√3 + (√3)² = 4 + 4√3 + 3 = 7 + 4√3
হর = 4 - 3 = 1
সুতরাং, রাশিটির মান হলো (7 + 4√3) / 1 = 7 + 4√3
ধাপ 3: এখন √3 = 1.732 মানটি বসাই।
= 7 + 4 × 1.732
= 7 + 6.928
= 13.928
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 13.928।
(A) √2 (B) √7 (C) √5 (D) 2√5
সঠিক উত্তর: (A) √2
ব্যাখ্যা:
ধাপ 1: প্রথমে ভেতরের অংশটি, অর্থাৎ √(7 - 2√10) সমাধান করি।
আমরা এটিকে √(a - b)² = √a - √b আকারে আনার চেষ্টা করব, যেখানে (a-b)² = a² + b² - 2ab।
এখানে, 2√10 = 2√(5×2) = 2√5√2। সুতরাং, a=√5 এবং b=√2 হতে পারে।
তাহলে, a² + b² = (√5)² + (√2)² = 5 + 2 = 7। এটি আমাদের 7 এর সাথে মিলে যাচ্ছে।
সুতরাং, 7 - 2√10 = (√5)² + (√2)² - 2√5√2 = (√5 - √2)²
তাহলে, √(7 - 2√10) = √[(√5 - √2)²] = √5 - √2
ধাপ 2: এখন এই মানটি মূল রাশিতে বসাই।
√(2 + (√5 - √2))
= √(2 + √5 - √2)
এখানে একটি ত্রুটি রয়েছে। প্রশ্নটি সম্ভবত √(√5 + √2 + √(7 - 2√10)) হওয়ার কথা নয়। প্রশ্নটি সম্ভবত √((√5+√2)/(√5-√2)) বা অন্য কিছু হওয়ার কথা।
যদি প্রশ্নটি √(3 + √(7 - 2√10)) হতো, তাহলে উত্তর হতো √(3 + √5 - √2), যা আরও জটিল।
সম্ভাব্য সঠিক প্রশ্ন: প্রশ্নটি সম্ভবত √(√10 + √(7 - 2√10)) বা অন্য কিছু ছিল। তবে প্রদত্ত প্রশ্ন অনুযায়ী সমাধান করা সম্ভব নয়। যদি প্রশ্নটি √(7 + 2√10) হতো, তাহলে উত্তর হতো √5 + √2।
এই প্রশ্নটিতে সম্ভবত ডেটা ভুল আছে।
(দ্রষ্টব্য: প্রশ্নে শেষ পদটি 1/(√99 - √100) দেওয়া আছে, যা একটি সুস্পষ্ট টাইপিং ত্রুটি। সিরিজ অনুযায়ী এটি 1/(√99 + √100) হবে।)
(A) 10 - √99 (B) √2 - 10 (C) 7 (D) 9
সঠিক উত্তর: (D) 9
ব্যাখ্যা:
ধাপ 1: প্রথমে সিরিজের যেকোনো একটি পদের সরলীকরণ করি। যেমন, 1/(√n + √(n+1))।
করণী নিরসন করলে পাই:
[1 × (√(n+1) - √n)] / [(√(n+1) + √n)(√(n+1) - √n)]
= (√(n+1) - √n) / ((n+1) - n)
= (√(n+1) - √n) / 1 = √(n+1) - √n
ধাপ 2: এখন এই সূত্র অনুযায়ী প্রতিটি পদকে লিখি।
1/(√1 + √2) = √2 - √1
1/(√2 + √3) = √3 - √2
1/(√3 + √4) = √4 - √3
...
1/(√99 + √100) = √100 - √99
ধাপ 3: এখন পুরো সিরিজটি যোগ করি।
(√2 - √1) + (√3 - √2) + (√4 - √3) + ... + (√100 - √99)
লক্ষ্য করলে দেখা যাবে যে মাঝের সব পদ কেটে যাচ্ছে (+√2 এবং -√2, +√3 এবং -√3 ইত্যাদি)।
অবশিষ্ট থাকবে শুধু প্রথম পদের দ্বিতীয় অংশ (-√1) এবং শেষ পদের প্রথম অংশ (+√100)।
= √100 - √1
= 10 - 1 = 9
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 9।
(A) 126 (B) 162 (C) 210 (D) 612
সঠিক উত্তর: (A) 126
ব্যাখ্যা:
ধাপ 1: প্রথমে আমাদের 4750-এর ঠিক আগের পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি খুঁজে বের করতে হবে। এর জন্য আমরা 4750-এর বর্গমূল নির্ণয় করার চেষ্টা করি।
আমরা জানি, 60² = 3600 এবং 70² = 4900। সুতরাং, উত্তরটি 60 এবং 70-এর মধ্যে হবে।
ধাপ 2: আসুন পরীক্ষা করি:
68² = 68 × 68 = 4624
69² = 69 × 69 = 4761 (এটি 4750 থেকে বড়)
সুতরাং, 4750-এর ঠিক আগের পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি হলো 4624 (যা 68-এর বর্গ)।
ধাপ 3: এখন 4750 থেকে কত বাদ দিলে 4624 হবে তা বের করতে হবে।
প্রয়োজনীয় সংখ্যা = 4750 - 4624 = 126
অতএব, 4750 থেকে 126 বাদ দিলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে।
(A) 3 (B) 9 (C) 1 (D) 5
সঠিক উত্তর: (C) 1
ব্যাখ্যা:
ধাপ 1: আমাদের 2600-এর ঠিক পরের পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি খুঁজে বের করতে হবে।
আমরা জানি, 50² = 2500।
পরবর্তী পূর্ণ সংখ্যা হলো 51।
ধাপ 2: 51-এর বর্গ নির্ণয় করি।
51² = 51 × 51 = 2601
ধাপ 3: 2601 হলো 2600-এর ঠিক পরের পূর্ণবর্গ সংখ্যা।
প্রয়োজনীয় সংখ্যা = 2601 - 2600 = 1
সুতরাং, 2600-এর সাথে 1 যোগ করলে সেটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
(A) 109 (B) 113 (C) 112 (D) 115
সঠিক উত্তর: (C) 112
ব্যাখ্যা:
ধাপ 1: প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: x² - 78² = 6460
x² = 6460 + 78²
ধাপ 2: প্রথমে 78²-এর মান বের করি।
78² = 78 × 78 = 6084
ধাপ 3: এখন মানটি সমীকরণে বসাই।
x² = 6460 + 6084
x² = 12544
ধাপ 4: x-এর মান বের করতে 12544-এর বর্গমূল করি।
x = √12544
আমরা জানি 110² = 12100। সংখ্যাটির শেষে 4 আছে, তাই বর্গমূলের শেষে 2 বা 8 থাকবে। 112 পরীক্ষা করি:
112² = 112 × 112 = 12544
সুতরাং, x = 112
(A) 40 (B) 80 (C) 60 (D) কোনটিই নয়
সঠিক উত্তর: (B) 80
ব্যাখ্যা:
ধাপ 1: 6400 কে আমরা 64 × 100 হিসাবে লিখতে পারি।
√6400 = √(64 × 100)
ধাপ 2: আমরা জানি √(a × b) = √a × √b
= √64 × √100
= 8 × 10
= 80
সুতরাং, √6400 = 80।
(A) 54 (B) 84 (C) 48 (D) 58
সঠিক উত্তর: (C) 48
ব্যাখ্যা:
ধাপ 1: প্রথমে প্রতিটি বর্গমূলের মান বের করি।
√196 = 14
√441 = 21
√225 = 15
ধাপ 2: এই মানগুলি সমীকরণে বসাই।
(14 / 7) × (21 / 7) × (120 / 15)
ধাপ 3: প্রতিটি ভাগফল নির্ণয় করি।
= 2 × 3 × 8
= 48
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 48।