অধ্যায়: Square-Square Root, Cube-Cube Root

CLASS NO: 01

বর্গ (Square) নির্ণয়ের কৌশল

1. (a ± b)² সূত্রের ব্যবহার (Base Method)

এই পদ্ধতিটি 100, 50, 1000 ইত্যাদি সংখ্যার কাছাকাছি থাকা সংখ্যার জন্য খুব কার্যকরী।

কেস 1: 100-এর কাছাকাছি সংখ্যার বর্গ (যেমন: 92², 108²)

• উদাহরণ: 92² নির্ণয় করুন
  1. বেস (Base) ধরুন 100। 92 সংখ্যাটি 100 থেকে কত কম? 8 কম (100 - 8 = 92)।
  2. প্রথম অংশ: মূল সংখ্যা (92) থেকে ওই পার্থক্য (8) বিয়োগ করুন: 92 - 8 = 84।
  3. দ্বিতীয় অংশ: পার্থক্যের (8) বর্গ করুন: 8² = 64।
  4. উত্তর: দুটি অংশকে পাশাপাশি বসিয়ে দিন: 8464।
     সুতরাং, 92² = 8464।
• উদাহরণ: 108² নির্ণয় করুন
  1. বেস 100। 108 সংখ্যাটি 100 থেকে কত বেশি? 8 বেশি।
  2. প্রথম অংশ: মূল সংখ্যা (108) -এর সাথে ওই পার্থক্য (8) যোগ করুন: 108 + 8 = 116।
  3. দ্বিতীয় অংশ: পার্থক্যের (8) বর্গ করুন: 8² = 64।
  4. উত্তর: 11664।

কেস 2: 50-এর কাছাকাছি সংখ্যার বর্গ (যেমন: 47², 56²)

এই ক্ষেত্রে একটি "Magic Number" 25 মনে রাখতে হবে।

• উদাহরণ: 47² নির্ণয় করুন
  1. বেস 50। 47 সংখ্যাটি 50 থেকে কত কম? 3 কম।
  2. প্রথম অংশ: Magic Number (25) থেকে ওই পার্থক্য (3) বিয়োগ করুন: 25 - 3 = 22।
  3. দ্বিতীয় অংশ: পার্থক্যের (3) বর্গ করুন: 3² = 09 (সবসময় দুটি অঙ্ক লিখতে হবে)।
  4. উত্তর: 2209।
• উদাহরণ: 56² নির্ণয় করুন
  1. বেস 50। 56 সংখ্যাটি 50 থেকে কত বেশি? 6 বেশি।
  2. প্রথম অংশ: Magic Number (25) -এর সাথে ওই পার্থক্য (6) যোগ করুন: 25 + 6 = 31।
  3. দ্বিতীয় অংশ: পার্থক্যের (6) বর্গ করুন: 6² = 36।
  4. উত্তর: 3136।

2. যে সংখ্যার শেষে 5 আছে তার বর্গ (Ending in 5)

এটি সবচেয়ে সহজ কৌশল।

• উদাহরণ: 75² নির্ণয় করুন
  1. শেষের অংশ: শেষে সবসময় 25 বসবে।
  2. প্রথম অংশ: 5-এর আগের অঙ্কটি হলো 7। 7-কে তার ঠিক পরের সংখ্যা (8) দিয়ে গুণ করুন: 7 × 8 = 56।
  3. উত্তর: দুটি অংশকে পাশাপাশি বসিয়ে দিন: 5625।
• উদাহরণ: 115² নির্ণয় করুন
  1. শেষের অংশ: 25।
  2. প্রথম অংশ: 5-এর আগের সংখ্যাটি হলো 11। 11-কে তার পরের সংখ্যা (12) দিয়ে গুণ করুন: 11 × 12 = 132।
  3. উত্তর: 13225।

3. যে কোনো দুই অঙ্কের সংখ্যার বর্গ (Universal Method)

এই পদ্ধতিটি (a+b)² = a² + 2ab + b² সূত্রের ওপর ভিত্তি করে তৈরি।

• উদাহরণ: 63² নির্ণয় করুন (a=6, b=3)
  1. ডান দিক থেকে শুরু করুন। প্রথমে b² বের করুন: 3² = 09। 9 লিখুন, হাতে 0 রাখুন।
  2. এবার 2ab বের করুন: 2 × 6 × 3 = 36। হাতে থাকা 0 যোগ করুন: 36 + 0 = 36। 6 লিখুন, হাতে 3 রাখুন।
  3. শেষে a² বের করুন: 6² = 36। হাতে থাকা 3 যোগ করুন: 36 + 3 = 39। 39 লিখুন।
  4. উত্তর: 3969।

---

ঘন (Cube) নির্ণয়ের কৌশল

ঘন নির্ণয় করা বর্গের চেয়ে একটু জটিল, তবে অনুশীলন করলে দ্রুত করা সম্ভব।

1. (a+b)³ সূত্রের ব্যবহার (Ratio Method)

এই পদ্ধতিটি (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ সূত্রের একটি সহজ রূপ।

• উদাহরণ: 24³ নির্ণয় করুন (a=2, b=4)
  1. চারটি খালি স্থান তৈরি করুন: _ _ _ _
  2. প্রথম স্থানে a³ এবং শেষ স্থানে b³ লিখুন:
     a³ = 2³ = 8
     b³ = 4³ = 64
     সুতরাং, 8 _ _ 64
  3. মাঝের দুটি স্থান পূরণ করুন:
     দ্বিতীয় স্থানে: a²b = 2² × 4 = 16
     তৃতীয় স্থানে: ab² = 2 × 4² = 32
     সুতরাং, 8 16 32 64
  4. মাঝের দুটি সংখ্যাকে দ্বিগুণ করে তাদের নিচে লিখুন:

       8   16   32   64
           32   64
     

  5. এবার কলাম অনুযায়ী যোগ করুন (ডান দিক থেকে):
     • শেষ কলাম: 64। 4 লিখুন, হাতে 6 রাখুন।
     • তৃতীয় কলাম: 32 + 64 + (হাতে থাকা 6) = 102। 2 লিখুন, হাতে 10 রাখুন।
     • দ্বিতীয় কলাম: 16 + 32 + (হাতে থাকা 10) = 58। 8 লিখুন, হাতে 5 রাখুন।
     • প্রথম কলাম: 8 + (হাতে থাকা 5) = 13। 13 লিখুন।
  6. উত্তর: 13824।
• উদাহরণ: 32³ নির্ণয় করুন (a=3, b=2)
  1. a³ এবং b³: 3³=27, 2³=8 → 27 _ _ 8
  2. a²b এবং ab²: 3²×2=18, 3×2²=12 → 27 18 12 8
  3. মাঝের সংখ্যা দ্বিগুণ করে নিচে লিখুন:

       27   18   12   08
            36   24
     

  4. যোগ করুন:
     • শেষ কলাম: 08। 8 লিখুন, হাতে 0।
     • তৃতীয় কলাম: 12 + 24 + 0 = 36। 6 লিখুন, হাতে 3।
     • দ্বিতীয় কলাম: 18 + 36 + 3 = 57। 7 লিখুন, হাতে 5।
     • প্রথম কলাম: 27 + 5 = 32। 32 লিখুন।
  5. উত্তর: 32768।