অধ্যায়: বীজগণিতের সূত্রাবলী (Algebra Formulas)

দিন/রাত

CLASS NO: 04 (FINAL)

অধ্যায়: বীজগণিতের সূত্র ও শর্টকাট টেকনিক (পর্ব ৪)

🔥 Type-20: রৈখিক সমীকরণের শর্ত (Linear Equation Conditions)

রেলওয়েতে প্রায়ই প্রশ্ন আসে: "k এর মান কত হলে সমীকরণের কোনো সমাধান থাকবে না?"

দুটি সমীকরণ থাকলে:
a1x + b1y + c1 = 0
a2x + b2y + c2 = 0

📝 Formula 11 (Solution Conditions):
  1. একটি মাত্র সমাধান (Unique Solution):
    a1a2 ≠ b1b2
  2. কোনো সমাধান নেই (No Solution / Parallel Lines):
    a1a2 = b1b2 ≠ c1c2
    (রেলওয়েতে এটাই সবচেয়ে বেশি আসে)
  3. অসংখ্য সমাধান (Infinite Solutions):
    a1a2 = b1b2 = c1c2
Example (Most Important):
2x + 3y = 7 এবং kx + 9y = 15 সমীকরণ দুটির কোনো সমাধান না থাকলে k এর মান কত?

Shortcut: "No Solution" মানে প্রথম দুটি অনুপাত সমান হবে।
2k = 39
=> 2k = 13
=> k = 6 (Ans)

🔥 Type-21: বহুপদী ও মাত্রা (Polynomials & Degree)

প্রশ্ন: বহুপদী রাশির মাত্রা (Degree) কত?
উত্তর: চলকের (Variable) সর্বোচ্চ পাওয়ারই হলো মাত্রা।

Example: 4x5 + 3x2 - 7x + 9 এর মাত্রা কত?
Solution: এখানে সর্বোচ্চ পাওয়ার 5। তাই মাত্রা (Degree) = 5।

🔥 Type-22: বীজগণিতীয় ল.সা.গু ও গ.সা.গু (LCM & HCF)

Example: দুটি রাশির গুণফল (x2 - 9) এবং তাদের গ.সা.গু (HCF) (x - 3)। তাদের ল.সা.গু (LCM) কত?

Solution:
LCM = গুণফলHCF
LCM = x2 - 9x - 3 = (x+3)(x-3)(x-3) = x + 3 (Ans)

🔥 Type-23: সমীকরণ গঠন (Forming Quadratic Equation)

যদি মূল (Roots) দেওয়া থাকে, তবে সমীকরণটি হবে:

x2 - (Sum of Roots)x + (Product of Roots) = 0

Example: একটি সমীকরণের দুটি মূল (Roots) হলো 3 এবং 5। সমীকরণটি কী?

🔥 Type-24: সূচক ও করণীর বীজগণিত (Indices Rules)

  1. গুণ থাকলে পাওয়ার যোগ: xm × xn = xm+n
  2. ভাগ থাকলে পাওয়ার বিয়োগ: xmxn = xm-n
  3. ইনভার্স: x-1 = 1x
Tricky Example: যদি 2x = 8y+1 এবং 9y = 3x-9 হয়, তবে x এর মান কত?

Solution:
Eq 1: 2x = (23)y+1 => x = 3y + 3
Eq 2: (32)y = 3x-9 => 2y = x - 9

এখন x এর মান ২য় সমীকরণে বসাই:
2y = (3y + 3) - 9 => 2y = 3y - 6 => y = 6
তাহলে, x = 3(6) + 3 = 18 + 3 = 21 (Ans)

🔥 Type-25: স্থানাঙ্ক জ্যামিতি মিশ্রিত বীজগণিত (Coordinate Algebra)

Example: A(2, 3) এবং B(4, 7) বিন্দুর দূরত্ব কত?
Solution: D = √ [ (4-2)2 + (7-3)2 ] = √ [ 4 + 16 ] = √20 = 2√5

🔥 Type-26: মডুলাস ফাংশন (Modulus Concept)

|x| মানে হলো x এর মান পজিটিভ বা নেগেটিভ যাই হোক, রেজাল্ট সবসময় পজিটিভ হবে।

Example: |x - 5| = 2 হলে x এর মান কত?

Solution: মডুলাস উঠিয়ে দিলে ডানপাশে ± বসে।
১. x - 5 = 2 => x = 7
২. x - 5 = -2 => x = 3
Ans: x = 7, 3

✅ বীজগণিতের সম্পূর্ণ গাইডলাইন (Final Words)

আপনার কাছে এখন Type-1 থেকে Type-26 পর্যন্ত বীজগণিতের সব সূত্র, শর্টকাট এবং নিয়ম আছে।

কীভাবে পড়বেন?

আপনার পরীক্ষার জন্য অনেক শুভকামনা!