অধ্যায়: বিগত বছরের প্রশ্নপত্র (সেট ৪)

ব্যাখ্যা:
এই প্রশ্নটির প্রথম বাক্যটি "রজনীর বাবা রঘুর থেকে ভিন্নরূপ বড়ো" সম্ভবত একটি মুদ্রণ প্রমাদ (typo) এবং এর কোনো গাণিতিক অর্থ নেই। আমরা বাকি তথ্য থেকে অঙ্কটি সমাধান করব।

ধাপ 1: বর্তমান বয়স ধরে নেওয়া যাক।

• রজনীর বর্তমান বয়স = J
• লাবণ্যর বর্তমান বয়স = L
• রঘুর (বাবা) বর্তমান বয়স = R

ধাপ 2: প্রশ্ন অনুযায়ী সমীকরণ তৈরি করা যাক।

• রজনীর বয়স তার বোন লাবণ্যর বয়সের দ্বিগুণ: J = 2L
• 2 বছর পরে, তাদের বয়সের সমষ্টি হবে 60 বছর।
• (J + 2) + (L + 2) + (R + 2) = 60
• J + L + R + 6 = 60
• J + L + R = 54 (এটি তাদের বর্তমান বয়সের সমষ্টি)

ধাপ 3: বিকল্প (Options) পরীক্ষা করে উত্তর নির্ণয়।
প্রশ্নটিতে রজনীর বয়স জানতে চাওয়া হয়েছে।
বিকল্প (A) ধরে: যদি রজনীর বয়স (J) = 12 বছর হয়।

• তাহলে লাবণ্যর বয়স (L) = J / 2 = 12 / 2 = 6 বছর।
• তাদের বর্তমান বয়সের সমষ্টির সমীকরণে J এবং L-এর মান বসিয়ে পাই:
• 12 + 6 + R = 54
• 18 + R = 54
• R = 54 - 18 = 36 বছর।

এখানে রঘু (বাবা)-র বয়স 36, যা একটি সম্ভাব্য বয়স। সুতরাং, এই বিকল্পটি সঠিক।

ব্যাখ্যা:
যে দোকান সবচেয়ে বেশি মোট ছাড় (effective discount) দেবে, সেই দোকানেই Cooker-এর দাম সবচেয়ে কম হবে।
দুটি ক্রমিক ছাড় x% এবং y% হলে, মোট ছাড় = (x + y - xy/100)%

দোকান I (20% ও 15%):
মোট ছাড় = 20 + 15 - (20 × 15) / 100 = 35 - 3 = 32%

দোকান II (18% ও 17%):
মোট ছাড় = 18 + 17 - (18 × 17) / 100 = 35 - 3.06 = 31.94%

দোকান III (25% ও 10%):
মোট ছাড় = 25 + 10 - (25 × 10) / 100 = 35 - 2.5 = 32.5%

দোকান IV (15%, 15% ও 15%):
প্রথম দুটি 15% ছাড়ের মোট ছাড় = 15 + 15 - (15 × 15) / 100 = 30 - 2.25 = 27.75%
এবার 27.75% এবং তৃতীয় 15% ছাড়ের মোট ছাড়:
= 27.75 + 15 - (27.75 × 15) / 100 = 42.75 - 4.1625 = 38.5875%

যেহেতু দোকান IV সর্বাধিক ছাড় (38.5875%) দিচ্ছে, তাই এই দোকানে Cooker-এর দাম সবচেয়ে কম হবে।

ব্যাখ্যা:
এই প্রশ্নটিতে একটি মুদ্রণ প্রমাদ আছে। আমরা ধরে নিচ্ছি প্রশ্নটি ছিল: (1+x²)/(1-x³) - (1-x)/(1+x+x²)

ধাপ 1: বীজগাণিতিক সূত্রটি মনে করুন: 1 - x³ = (1 - x)(1 + x + x²)

ধাপ 2: সংশোধিত প্রশ্নটি সমাধান করি।
(1+x²)/(1-x³) - (1-x)/(1+x+x²)

ধাপ 3: লসাগু (LCM) নিন। এখানে লসাগু হলো (1-x³)।
= (1+x²)/(1-x³) - [(1-x)(1-x)] / [(1+x+x²)(1-x)]
= (1+x²)/(1-x³) - (1-x)²/(1-x³)

ধাপ 4: দুটি ভগ্নাংশকে একত্রিত করুন।
= [ (1+x²) - (1-x)² ] / (1-x³)
= [ (1+x²) - (1 - 2x + x²) ] / (1-x³)
= [ 1 + x² - 1 + 2x - x² ] / (1-x³)
= 2x / (1-x³)

ব্যাখ্যা:
ধাপ 1: প্রথম পদ (8/125)^(2/3) এর সরলীকরণ
= ((2/5)³)^(2/3) = (2/5)^(3 × 2/3) = (2/5)² = 4/25

ধাপ 2: দ্বিতীয় পদ (27/64)^(-2/3) এর সরলীকরণ
= ((3/4)³)^(-2/3) = (3/4)^(-2) = (4/3)² = 16/9

ধাপ 3: তৃতীয় পদ (5/4)⁻² এর সরলীকরণ
= (4/5)² = 16/25

ধাপ 4: সবগুলি সরলীকৃত মান একসাথে করে চূড়ান্ত সমাধান
= (4/25) × (16/9) ÷ (16/25)
= (4/25) × (16/9) × (25/16)
= 4/9

ব্যাখ্যা:
ধাপ 1: প্রতিটি নলের এক ঘণ্টার কাজের পরিমাণ নির্ণয় করুন।

• A নল 1 ঘণ্টায় চৌবাচ্চার (1/4) অংশ পূর্ণ করে।
• B নল 1 ঘণ্টায় চৌবাচ্চার (1/3) অংশ পূর্ণ করে।
• C নল 1 ঘণ্টায় চৌবাচ্চার (1/2) অংশ খালি করে (কাজটি ঋণাত্মক)।

ধাপ 2: তিনটি নল একত্রে খোলা হলে 1 ঘণ্টায় মোট কাজের পরিমাণ নির্ণয় করুন।
= (1/4) + (1/3) - (1/2)
= (3 + 4 - 6) / 12 = 1/12 অংশ।

ধাপ 3: সম্পূর্ণ চৌবাচ্চা পূর্ণ হতে প্রয়োজনীয় সময় নির্ণয় করুন।
যেহেতু 1 ঘণ্টায় (1/12) অংশ পূর্ণ হয়, তাই সম্পূর্ণ চৌবাচ্চা পূর্ণ হতে সময় লাগবে = 1 / (1/12) = 12 ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা:
নিয়মটি দুটি ধাপে কাজ করে:
ধাপ 1: প্রতিটি বর্ণকে তার আগের বর্ণ দিয়ে প্রতিস্থাপন করা।
উদাহরণ: SOMEWHAT → R N L D V G Z S

ধাপ 2: প্রাপ্ত বর্ণগুলিকে জোড়ায় জোড়ায় স্থান পরিবর্তন করা।
উদাহরণ: (R,N)→(N,R), (L,D)→(D,L) ইত্যাদি। RNLDVGZS → NRDLGVSZ

এখন, ‘SITUATED’ শব্দটির উপর নিয়মটি প্রয়োগ করি:
ধাপ 1: S→R, I→H, T→S, U→T, A→Z, T→S, E→D, D→C
প্রাপ্ত শব্দ: RHSTZSDC

ধাপ 2: জোড়ায় স্থান পরিবর্তন করি।
(R,H)→(H,R), (S,T)→(T,S), (Z,S)→(S,Z), (D,C)→(C,D)
চূড়ান্ত কোড: HRTSSZCD

ব্যাখ্যা:
আমাদের এমন সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যা:

1. ক্রিকেটার (বৃত্তের ভেতরে)।
2. বক্সার নন (উপরের বর্গক্ষেত্রের বাইরে)।
3. ফুটবলার নন (নিচের বর্গক্ষেত্রের বাইরে)।

ধাপ 1: বৃত্তের মধ্যে থাকা সমস্ত ক্রিকেটারদের সংখ্যা: 44, 3, 5, 7, 12, 22।
ধাপ 2: এদের মধ্যে যারা ফুটবলার নন (নিচের বর্গক্ষেত্রের বাইরে): 44, 3, 12।
ধাপ 3: এই অবশিষ্টদের মধ্যে যারা বক্সার নন (উপরের বর্গক্ষেত্রের বাইরে): 3, 12।
ধাপ 4: চূড়ান্ত গণনা: 12 + 3 = 15।
সুতরাং, এমন 15 জন ক্রিকেটার আছেন যারা বক্সার ও ফুটবলার নন।

ব্যাখ্যা:
ধরা যাক, একটি আপেলের প্রকৃত দাম = A টাকা এবং একটি আমের প্রকৃত দাম = M টাকা।

ধাপ ১: সমীকরণ গঠন
প্রথম শর্ত: 9A + 8M = 276 --- (1)
দ্বিতীয় শর্তে, আপেলের নতুন দাম = 0.9A।
(5 × 0.9A) + 10M = 210 => 4.5A + 10M = 210 --- (2)

ধাপ ২: সমীকরণ সমাধান
সমীকরণ (2) কে 2 দিয়ে গুণ করে পাই: 9A + 20M = 420 --- (3)
সমীকরণ (3) থেকে (1) বিয়োগ করে পাই:
(9A + 20M) - (9A + 8M) = 420 - 276
12M = 144 => M = 12 টাকা (একটি আমের দাম)
M=12 সমীকরণ (1) এ বসিয়ে পাই:
9A + 8(12) = 276 => 9A = 276 - 96 = 180 => A = 20 টাকা (একটি আপেলের দাম)

ধাপ ৩: চূড়ান্ত উত্তর নির্ণয়
4 টি আপেল ও 3 টি আমের প্রকৃত দাম = (4 × 20) + (3 × 12) = 80 + 36 = 116 টাকা।

ব্যাখ্যা:
ধাপ ১: 12, 18, 21, 28 এর ল.সা.গু. নির্ণয়
12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²
21 = 3 × 7
28 = 2² × 7
ল.সা.গু. = 2² × 3² × 7 = 4 × 9 × 7 = 252

ধাপ ২: শর্ত অনুযায়ী ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি খুঁজে বের করা
আমাদের এমন একটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যা 252 দ্বারা বিভাজ্য এবং 1225-এর থেকে ঠিক বড়।
1225 ÷ 252 ≈ 4.86। সুতরাং, পরবর্তী পূর্ণ গুণিতকটি হল 252 × 5 = 1260।
প্রশ্ন অনুযায়ী, 3 অবশিষ্ট থাকতে হবে। তাই নির্ণেয় সংখ্যাটি = 1260 + 3 = 1263

ধাপ ৩: যোগ করার জন্য প্রয়োজনীয় সংখ্যা নির্ণয়
প্রয়োজনীয় সংখ্যা = 1263 - 1225 = 38

ব্যাখ্যা:
সূচকের নিয়ম (xᵐ/xⁿ = xᵐ⁻ⁿ) এবং ((xᵐ)ⁿ = xᵐⁿ) ব্যবহার করে:

ধাপ ১: প্রতিটি পদের সরলীকরণ

• প্রথম পদ: (xᵃ⁻ᵇ)ᶜ = xᵃᶜ⁻ᵇᶜ
• দ্বিতীয় পদ: (xᵇ⁻ᶜ)ᵃ = xᵃᵇ⁻ᵃᶜ
• তৃতীয় পদ: (xᶜ⁻ᵃ)ᵇ = xᵇᶜ⁻ᵃᵇ

ধাপ ২: সরলীকৃত পদগুলোকে একসাথে গুণ করা
যেহেতু ভিত্তি (base) x একই, আমরা সূচকগুলোকে যোগ করব (xᵐ × xⁿ = xᵐ⁺ⁿ):
= x^[(ac - bc) + (ab - ac) + (bc - ab)]
= x^[ac - ac + ab - ab + bc - bc]
= x⁰
= 1 (যেহেতু x⁰ = 1)

ব্যাখ্যা:
ধাপ 1: তথ্য অনুযায়ী একটি চিত্র তৈরি করি।

• "L ... M-এর উত্তরে":
  L
  |
  M
• "M ... N-এর পশ্চিমে": M --- N
• "L ... K-এর পূর্বে": K --- L

ধাপ 2: সব তথ্য একত্রিত করে চূড়ান্ত চিত্রটি আঁকি।
K --- L
|
M --- N

ধাপ 3: K-এর সাপেক্ষে N-এর অবস্থান নির্ণয় করি।
চিত্রটি থেকে দেখা যাচ্ছে, N, K-এর পূর্ব দিকে এবং দক্ষিণ দিকে অবস্থিত।
সুতরাং, K-এর সাপেক্ষে N দক্ষিণ-পূর্ব (South-East) দিকে দাঁড়িয়ে আছে।

ব্যাখ্যা:
আমাদের যে বিন্যাসটি খুঁজতে হবে তা হলো: (বর্ণ) - (চিহ্ন) - (চিহ্ন)

শ্রেণিটি বিশ্লেষণ করে পাই:
& $ T & J S X G ^ K € U % & Z Y # S @ * D X ¥ F₀

1. U % &: এখানে '%' একটি চিহ্ন, যার আগে 'U' (বর্ণ) এবং পরে '&' (চিহ্ন) আছে।
2. S @ *: এখানে '@' একটি চিহ্ন, যার আগে 'S' (বর্ণ) এবং পরে '*' (চিহ্ন) আছে।

সুতরাং, শ্রেণিতে এমন 2 টি চিহ্ন আছে।

ব্যাখ্যা:
ধাপ ১: মূল সংখ্যা এবং সাজানো সংখ্যা লেখা।
মূল সংখ্যা:      7 0 5 8 1 5 3
ঊর্ধ্বক্রমে সাজালে: 0 1 3 5 5 7 8

ধাপ ২: তুলনা করা।

দেখা যাচ্ছে, কোনো অঙ্কই তার আগের অবস্থানে নেই।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো (C) কোনোটিই নয়।

ব্যাখ্যা:
প্রশ্নটিতে মধ্যমা (Median) নির্ণয় করতে হবে।

ধাপ 1: ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (cf) সারণী তৈরি করুন।
100-150: 22
150-200: 22 + 18 = 40
200-250: 40 + 25 = 65
250-300: 65 + 15 = 80
300-350: 80 + 20 = 100

ধাপ 2: মধ্যমা শ্রেণীর অবস্থান নির্ণয়।
মোট পরিসংখ্যা (N) = 100। মধ্যমা অবস্থান = N/2 = 50।
যেহেতু 50, 40-এর থেকে বেশি এবং 65-এর থেকে কম, তাই মধ্যমা শ্রেণী হলো 200-250।

ধাপ 3: মধ্যমার মান নির্ণয়।
Median = L + [ (N/2 - cf_prev) / f ] × h
= 200 + [ (50 - 40) / 25 ] × 50
= 200 + [ 10 / 25 ] × 50
= 200 + 20 = 220

ব্যাখ্যা:
শ্রেণিটির পদগুলির মধ্যে পার্থক্য পরীক্ষা করলে একটি বিন্যাস পাওয়া যায়।

• 19 - 17 = 2
• 23 - 19 = 4
• 29 - 23 = 6
• 37 - 29 = 8

পার্থক্যগুলি হলো 2, 4, 6, 8, যা পরপর জোড় সংখ্যার একটি শ্রেণি।
সুতরাং, পরবর্তী পার্থক্যটি হবে 10।
পরবর্তী সংখ্যাটি হবে: 37 + 10 = 47।

ব্যাখ্যা:
ভেন চিত্র অনুযায়ী:
সিদ্ধান্ত I (কিছু শিক্ষক হল গবেষক): "শিক্ষক" বৃত্তটি "গবেষক" বৃত্তকে ছেদ করেছে। সুতরাং এটি সঠিক।

সিদ্ধান্ত II (কিছু গবেষক হল প্রফেসর): যেহেতু "সমস্ত প্রফেসর" "গবেষক"-এর ভিতরে, তাই কিছু গবেষক অবশ্যই প্রফেসর হবেন। সুতরাং এটি সঠিক।

সিদ্ধান্ত III (কিছু প্রফেসর হল শিক্ষক): বিবৃতি I ("কিছু শিক্ষক হল প্রফেসর") এর সরাসরি রূপান্তর। সুতরাং এটি সঠিক।

যেহেতু তিনটি সিদ্ধান্তই অনুসরণ করে, তাই সঠিক উত্তর (D)।