অধ্যায়: Digit, Number & Divisibility

CLASS NO: 01

অধ্যায় ১: অঙ্ক, সংখ্যা এবং সংখ্যার প্রকারভেদ (Digit, Number & Types of Numbers)

১. অঙ্ক (Digit):

গণিতে কোনো সংখ্যা লেখার জন্য যে চিহ্নগুলো ব্যবহার করা হয়, তাদের অঙ্ক বলে। দশভিত্তিক সংখ্যা পদ্ধতিতে মোট ১০টি অঙ্ক আছে: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

২. সংখ্যা (Number):

এক বা একাধিক অঙ্ক পাশাপাশি বসে যা তৈরি করে, তাকে সংখ্যা বলে। যেমন: 7, 53, 981 ইত্যাদি।

৩. সংখ্যার প্রকারভেদ (Types of Numbers):

• স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Numbers): গণনার জন্য ব্যবহৃত সংখ্যা (1, 2, 3, 4, ...) হলো স্বাভাবিক সংখ্যা।
• অখণ্ড সংখ্যা (Whole Numbers): স্বাভাবিক সংখ্যার সাথে শূন্য (0) যোগ করলে অখণ্ড সংখ্যা পাওয়া যায় (0, 1, 2, 3, ...)।
• পূর্ণসংখ্যা (Integers): সমস্ত ধনাত্মক, ঋণাত্মক এবং শূন্যসহ অখণ্ড সংখ্যাকে পূর্ণসংখ্যা বলে (... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...)।
• মৌলিক সংখ্যা (Prime Numbers): যে সব সংখ্যার কেবল দুটি উৎপাদক থাকে (1 এবং সেই সংখ্যা নিজে), তাদের মৌলিক সংখ্যা বলে। যেমন: 2, 3, 5, 7, 11, 13 ইত্যাদি।
  • মনে রাখবেন: 1 মৌলিক বা যৌগিক কোনোটিই নয়।
  • 2 হলো ক্ষুদ্রতম এবং একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা।
• যৌগিক সংখ্যা (Composite Numbers): যে সব সংখ্যার দুইয়ের বেশি উৎপাদক থাকে, তাদের যৌগিক সংখ্যা বলে। যেমন: 4, 6, 8, 9, 10 ইত্যাদি।
• জোড় বা যুগ্ম সংখ্যা (Even Numbers): যে সব পূর্ণসংখ্যা 2 দ্বারা বিভাজ্য। যেমন: 2, 4, 6, 8, 10 ইত্যাদি।
• বিজোড় বা অযুগ্ম সংখ্যা (Odd Numbers): যে সব পূর্ণসংখ্যা 2 দ্বারা বিভাজ্য নয়। যেমন: 1, 3, 5, 7, 9 ইত্যাদি।
• পরস্পর মৌলিক সংখ্যা (Co-prime Numbers): দুটি সংখ্যার মধ্যে 1 ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ উৎপাদক না থাকলে, তাদের পরস্পর মৌলিক সংখ্যা বলে। যেমন: (8, 9), (15, 16)।

অধ্যায় ২: স্থানিক মান এবং অভিহিত মান (Place Value and Face Value)

• অভিহিত মান (Face Value): কোনো সংখ্যার মধ্যে একটি অঙ্কের নিজস্ব মানকে তার অভিহিত মান বলে। যেমন: 742 সংখ্যাটিতে 4-এর অভিহিত মান 4।
• স্থানিক মান (Place Value): কোনো সংখ্যার মধ্যে একটি অঙ্ক তার অবস্থানের জন্য যে মান লাভ করে, তাকে তার স্থানিক মান বলে। যেমন: 742 সংখ্যাটিতে 4-এর স্থানিক মান হলো 4 × 10 = 40।

অধ্যায় ৩: বিভাজ্যতার নিয়মাবলী (Divisibility Rules)

এই নিয়মগুলো দ্রুত অঙ্ক করতে খুব সাহায্য করে।

• 2 দ্বারা বিভাজ্যতা: কোনো সংখ্যার শেষ অঙ্ক (এককের ঘরের অঙ্ক) যদি 0, 2, 4, 6, বা 8 হয়, তবে সংখ্যাটি 2 দ্বারা বিভাজ্য হবে।

  উদাহরণ: 138 (শেষ অঙ্ক 8), 240 (শেষ অঙ্ক 0)।

• 3 দ্বারা বিভাজ্যতা: কোনো সংখ্যার অঙ্কগুলির যোগফল যদি 3 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে সংখ্যাটিও 3 দ্বারা বিভাজ্য হবে।

  উদাহরণ: 381 => 3 + 8 + 1 = 12। যেহেতু 12, 3 দ্বারা বিভাজ্য, তাই 381-ও 3 দ্বারা বিভাজ্য।

• 4 দ্বারা বিভাজ্যতা: কোনো সংখ্যার শেষ দুটি অঙ্ক (দশক ও একক) দ্বারা গঠিত সংখ্যাটি যদি 4 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে মূল সংখ্যাটিও 4 দ্বারা বিভাজ্য হবে।

  উদাহরণ: 7324 => শেষ দুটি অঙ্ক 24। যেহেতু 24, 4 দ্বারা বিভাজ্য, তাই 7324-ও 4 দ্বারা বিভাজ্য।

• 5 দ্বারা বিভাজ্যতা: কোনো সংখ্যার শেষ অঙ্ক যদি 0 বা 5 হয়, তবে সংখ্যাটি 5 দ্বারা বিভাজ্য হবে।

  উদাহরণ: 480, 975।

• 6 দ্বারা বিভাজ্যতা: কোনো সংখ্যা যদি 2 এবং 3 উভয় দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে সংখ্যাটি 6 দ্বারা বিভাজ্য হবে।

  উদাহরণ: 726 => শেষ অঙ্ক 6 (2 দ্বারা বিভাজ্য) এবং অঙ্কগুলির যোগফল 7 + 2 + 6 = 15 (3 দ্বারা বিভাজ্য)। সুতরাং, 726, 6 দ্বারা বিভাজ্য।

• 8 দ্বারা বিভাজ্যতা: কোনো সংখ্যার শেষ তিনটি অঙ্ক (শতক, দশক, একক) দ্বারা গঠিত সংখ্যাটি যদি 8 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে মূল সংখ্যাটিও 8 দ্বারা বিভাজ্য হবে।

  উদাহরণ: 54120 => শেষ তিনটি অঙ্ক 120। যেহেতু 120, 8 দ্বারা বিভাজ্য (120 ÷ 8 = 15), তাই 54120-ও 8 দ্বারা বিভাজ্য।

• 9 দ্বারা বিভাজ্যতা: কোনো সংখ্যার অঙ্কগুলির যোগফল যদি 9 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে সংখ্যাটিও 9 দ্বারা বিভাজ্য হবে।

  উদাহরণ: 468 => 4 + 6 + 8 = 18। যেহেতু 18, 9 দ্বারা বিভাজ্য, তাই 468-ও 9 দ্বারা বিভাজ্য।

• 10 দ্বারা বিভাজ্যতা: কোনো সংখ্যার শেষ অঙ্ক যদি 0 হয়, তবে সংখ্যাটি 10 দ্বারা বিভাজ্য হবে।

  উদাহরণ: 120, 3500।

• 11 দ্বারা বিভাজ্যতা: কোনো সংখ্যার বিজোড় স্থানের অঙ্কগুলির যোগফল এবং জোড় স্থানের অঙ্কগুলির যোগফলের পার্থক্য যদি 0 বা 11-এর গুণিতক (11, 22, 33...) হয়, তবে সংখ্যাটি 11 দ্বারা বিভাজ্য হবে।

  উদাহরণ: 987415 =>
  - বিজোড় স্থানের অঙ্কগুলির যোগফল (প্রথম, তৃতীয়, পঞ্চম): 9 + 7 + 1 = 17
  - জোড় স্থানের অঙ্কগুলির যোগফল (দ্বিতীয়, চতুর্থ, ষষ্ঠ): 8 + 4 + 5 = 17
  - পার্থক্য: 17 - 17 = 0। সুতরাং, 987415 সংখ্যাটি 11 দ্বারা বিভাজ্য।

যৌগিক সংখ্যার জন্য বিভাজ্যতার নিয়ম:

কোনো সংখ্যাকে যৌগিক সংখ্যা দিয়ে ভাগ করতে হলে, সেটিকে পরস্পর মৌলিক উৎপাদকে ভেঙে নিতে হয়।

• 12 দ্বারা বিভাজ্যতা: সংখ্যাটি 3 এবং 4 উভয় দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।
• 15 দ্বারা বিভাজ্যতা: সংখ্যাটি 3 এবং 5 উভয় দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।
• 55 দ্বারা বিভাজ্যতা: সংখ্যাটি 5 এবং 11 উভয় দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।
• 80 দ্বারা বিভাজ্যতা: সংখ্যাটি 8 এবং 10 (অথবা 16 এবং 5) উভয় দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।

অধ্যায় ৪: কিছু গুরুত্বপূর্ণ সূত্র ও ধারণা

1. ভাগফল সংক্রান্ত সূত্র (Division Algorithm):

   ভাজ্য = (ভাজক × ভাগফল) + ভাগশেষ

   • ভাজক (Divisor): যা দিয়ে ভাগ করা হয়।
   • ভাজ্য (Dividend): যাকে ভাগ করা হয়।
   • ভাগফল (Quotient): ভাগ করার পর যে ফল পাওয়া যায়।
   • ভাগশেষ (Remainder): যা অবশিষ্ট থাকে। (মনে রাখবেন, ভাগশেষ সবসময় ভাজকের থেকে ছোট হয়)।
2. ক্রমিক সংখ্যার যোগফল:
   • প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল: n(n+1) / 2
   • প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের যোগফল: n(n+1)(2n+1) / 6
   • প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের যোগফল: [n(n+1) / 2]²
3. উৎপাদকের সংখ্যা ও সমষ্টি:

   যদি একটি সংখ্যা N = aˣ × bʸ × cᶻ হয় (যেখানে a, b, c মৌলিক সংখ্যা), তবে:

   • মোট উৎপাদকের সংখ্যা = (x+1)(y+1)(z+1)
   • উৎপাদকের সমষ্টি = (a⁰+...+aˣ) × (b⁰+...+bʸ) × (c⁰+...+cᶻ)

এই নিয়মাবলী এবং সূত্রগুলি ভালোভাবে অনুশীলন করলে, আপনি সংখ্যা তত্ত্বের যেকোনো সমস্যার সমাধান করতে সক্ষম হবেন। শুভকামনা!