অধ্যায়: অনুপাত ও সমানুপাত (Ratio & Proportion)

দিন/রাত

CLASS NO: 08

অধ্যায়: অনুপাত ও সমানুপাত (Ratio & Proportion) - প্র্যাকটিস সেট (সমাপ্তি)

প্রশ্ন ৪৫: একটি বাক্সে পেন, পেন্সিল এবং রবারের অনুপাত 3 : 2 : 1। যদি প্রতিটি পেন, পেন্সিল এবং রবারের মূল্য যথাক্রমে 3, 2 এবং 2 টাকা হয় এবং বাক্স বাবদ ব্যয় হয় 1050 টাকা, তাহলে বাক্সটিতে মোট যতগুলি পেন রয়েছে—
✅ সঠিক উত্তর: (B) 210

বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
  • ধরি, পেন, পেন্সিল ও রবারের সংখ্যা যথাক্রমে 3x, 2x এবং 1x।
  • এখন মোট মূল্য বের করি:
    পেনের মোট মূল্য = 3x × 3 টাকা = 9x টাকা।
    পেন্সিলের মোট মূল্য = 2x × 2 টাকা = 4x টাকা।
    রবারের মোট মূল্য = 1x × 2 টাকা = 2x টাকা।
  • মোট মূল্য = 9x + 4x + 2x = 15x টাকা।
  • প্রশ্নমতে, 15x = 1050
    বা, x = 105015
    বা, x = 70
  • অতএব, পেনের সংখ্যা = 3x = 3 × 70 = 210 টি।
সূত্র: মোট মূল্য = (সংখ্যা × প্রতিটি জিনিসের দাম)।

🚀 শর্টকাট টেকনিক:
সরাসরি ইউনিটে হিসাব করুন:
(3 × 3) + (2 × 2) + (1 × 2) = 9 + 4 + 2 = 15 ইউনিট।
15 ইউনিট মানে 1050 টাকা।
পেনের অনুপাত যেহেতু 3, তাই পেনের মোট ভ্যালু ইউনিটে হবে 9। কিন্তু আমাদের সংখ্যা চেয়েছে।
সরাসরি 1 ইউনিটের মান বের করি: 1050 / 15 = 70।
পেনের সংখ্যা (অনুপাত 3) = 3 × 70 = 210।

অপশন বিশ্লেষণ:
(A), (C), (D) ভুল, কারণ সঠিক গাণিতিক হিসাবে মানটি সরাসরি 210 আসে। অন্য অপশনগুলো কেবল বিভ্রান্ত করার জন্য দেওয়া হয়েছে।
প্রশ্ন ৪৬: এক সাইকেল আরোহী একটি নির্দিষ্ট দূরত্ব অতিক্রম করল একটি নির্দিষ্ট গতিতে। যদি একজন দৌড়ে সেই দূরত্বের অর্ধেক অতিক্রম করে দ্বিগুণ সময়ে তাহলে সাইকেল এবং লোকটির গতির অনুপাত হবে—
✅ সঠিক উত্তর: (B) 4 : 1

বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
  • ধরি, সাইকেল আরোহীর অতিক্রান্ত দূরত্ব = D এবং সময় = T।
  • তাহলে সাইকেলের গতিবেগ (Sc) = DT।
  • দৌড়বিদের ক্ষেত্রে:
    দূরত্ব = অর্ধেক = D2
    সময় = দ্বিগুণ = 2T
    তাহলে দৌড়বিদের গতিবেগ (Sr) = দূরত্বসময় = D/22T = D4T।
  • এখন অনুপাত:
    সাইকেল : দৌড়বিদ = DT : D4T
    উভয় পাশ থেকে DT কেটে দিলে পাই = 1 : 14
    উভয়কে 4 দিয়ে গুণ করলে = 4 : 1।
সূত্র: গতিবেগ = দূরত্বসময় (Speed = DistanceTime)।

🚀 শর্টকাট টেকনিক (সংখ্যা ধরে):
ধরি, সাইকেল যায় 100 মিটার, সময় নেয় 10 সেকেন্ড।
গতি = 10 মি/সে।
দৌড়বিদ যায় অর্ধেক (50 মি), সময় নেয় দ্বিগুণ (20 সেকেন্ড)।
গতি = 5020 = 2.5 মি/সে।
অনুপাত = 10 : 2.5 = 100 : 25 = 4 : 1।

অপশন বিশ্লেষণ:
(A) 2 : 1 ভুল, কারণ এটি শুধু সময়ের দ্বিগুণটা ধরেছে, দূরত্বের অর্ধেকটা ধরেনি।
(D) 1 : 2 ভুল, কারণ এটি উল্টো অনুপাত।
প্রশ্ন ৪৭: A এবং B-এর গতির অনুপাত 4 : 5 এবং সেই কারণে গন্তব্যে পৌঁছাতে 20 মিনিট বেশি সময় নেয় B-এর থেকে। A দ্বিগুণ গতিতে হেঁটে ওই দূরত্ব অতিক্রম করতে কত সময়ে নেবে?
(নোট: প্রশ্নে ভাষাগত একটু খটকা থাকতে পারে, তবে মানে হলো— A এর গতি কম তাই সে B এর থেকে 20 মিনিট বেশি সময় নেয়)।
✅ সঠিক উত্তর: (B) 50 মিনিট

বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
গতিবেগের অনুপাত এবং সময়ের অনুপাত পরস্পর ব্যস্তানুপাতিক (উল্টো হয়)।
  • গতির অনুপাত (A : B) = 4 : 5
  • সময়ের অনুপাত (A : B) = 5 : 4
সময়ের পার্থক্য: 5 - 4 = 1 ইউনিট।
প্রশ্নমতে, এই 1 ইউনিট বেশি সময় = 20 মিনিট।
তাহলে A-এর সাধারণত সময় লাগে (5 ইউনিট) = 5 × 20 = 100 মিনিট।
এখন শেষ শর্ত: "A দ্বিগুণ গতিতে..."
আমরা জানি, গতি দ্বিগুণ করলে সময় অর্ধেক লাগে।
সুতরাং, A-এর নতুন সময় = 1002 = 50 মিনিট।

সূত্র: Speed ∝ 1Time (গতি বাড়লে সময় কমে)।

🚀 শর্টকাট:
A-এর আসল সময় বের করার পর (100 মিনিট), যেহেতু গতি 'দ্বিগুণ' (Double) হয়েছে, তাই সময়কে সরাসরি 2 দিয়ে ভাগ করে দিন। 100 / 2 = 50।

অপশন বিশ্লেষণ:
(D) 100 মিনিট হলো A-এর স্বাভাবিক গতিতে লাগা সময়। প্রশ্নে 'দ্বিগুণ গতি' বলা হয়েছে, তাই এটি উত্তর হবে না।
সঠিক উত্তর (B) 50 মিনিট।
প্রশ্ন ৪৮: যদি 8 : 4 :: 3.2 : x হয় তাহলে x-এর মান কত?
✅ সঠিক উত্তর: (B) 1.6

বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
এটি একটি সমানুপাতের অঙ্ক।
নিয়ম: প্রথম পদ × চতুর্থ পদ = দ্বিতীয় পদ × তৃতীয় পদ।
এখানে:
8 : 4 :: 3.2 : x
বা, 84 = 3.2x
বা, 2 = 3.2x (কারণ 8 / 4 = 2)
বা, 2x = 3.2
বা, x = 3.22
বা, x = 1.6

🚀 শর্টকাট টেকনিক (মুখে মুখে):
বাম দিকের অনুপাত দেখুন: 8 : 4। অর্থাৎ প্রথমটি দ্বিতীয়টির দ্বিগুণ (বা দ্বিতীয়টি প্রথমটির অর্ধেক)।
তাহলে ডানদিকের অনুপাতও তাই হবে।
3.2 এর অর্ধেক কত? 1.6।
সরাসরি উত্তর 1.6।

অপশন বিশ্লেষণ:
(A) 2.4 ভুল হিসাব।
(C) 3.2 বসালে অনুপাত 1 : 1 হয়ে যায়, যা ভুল।
(B) 1.6 সঠিক উত্তর।