১০. ক্রমিক সমানুপাতের সম্পর্ক:
যদি
a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী হয়, তবে নিয়ম অনুযায়ী:
ab =
bc =
cd
- এর মানে হলো: b2 = ac (প্রথম তিনটির জন্য),
- c2 = bd (শেষ তিনটির জন্য) এবং
- ad = bc (প্রান্তীয় ও মধ্যপদ)।
১১. চেইন রুল বা ধারাবাহিক অনুপাত:
যদি
A : B = p : q,
B : C = x : y এবং
C : D = r : s হয়, তবে প্রথম ও শেষের অনুপাত (A : D) বের করার নিয়ম:
A : D =
AB ×
BC ×
CD =
pq ×
xy ×
rs
সহজ কথা: সব ভগ্নাংশগুলো পরপর গুণ করে দিলে মাঝখানের গুলো কেটে গিয়ে শুধু প্রথম ও শেষ থাকে।
১২. গুণফল থেকে অনুপাত নির্ণয়:
যদি
xA = yB হয়, তবে
A : B = y : x।
- উদাহরণ: 2A = 3B হলে, A : B = 3 : 2 (সংখ্যাগুলো উল্টে যায়)।
১৩. সংখ্যা ভাগ করার নিয়ম:
দুটি সংখ্যার অনুপাত
a : b এবং তাদের সমষ্টি (যোগফল)
x হলে:
- ১ম সংখ্যা = axa + b
- ২য় সংখ্যা = bxa + b
১৪. যোগফল ও বিয়োগফল থেকে অনুপাত:
দুটি সংখ্যার যোগফল
x ও বিয়োগফল
y হলে, সংখ্যা দুটির অনুপাত হবে:
অনুপাত = (x + y) : (x - y)
১৫. মুদ্রার (Coins) অঙ্ক করার সূত্র:
- (a) সমসংখ্যক মুদ্রা থাকলে: প্রতিটি মুদ্রার সংখ্যা = মোট মূল্যমুদ্রাগুলির মূল্য সমষ্টি
- (b) মোট মুদ্রার সংখ্যা দেওয়া থাকলে: নির্দিষ্ট মুদ্রার সংখ্যা = মোট মুদ্রামুদ্রাগুলির আনুপাতিক পদের সমষ্টি × নির্দিষ্ট অনুপাত
- (c) মোট মূল্য দেওয়া থাকলে: এই ক্ষেত্রে মুদ্রার সংখ্যাকে তাদের মান দিয়ে গুণ করে মোট টাকার হিসেবে আনতে হয়। (এটি প্রশ্নের মাধ্যমে ভালো বোঝা যায়)।
প্রশ্ন ১: যদি A : B = 2 : 3 এবং B : C = 4 : 5 হয়, তবে A : B : C = ?
- (A) 2 : 12 : 5
- (B) 8 : 12 : 15
- (C) 12 : 8 : 15
- (D) 15 : 12 : 8
✅ সঠিক উত্তর: (B) 8 : 12 : 15
বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
আমাদের লক্ষ্য হলো দুটি অনুপাতের মাঝখানের সংখ্যাটি (B) সমান করা।
- A : B = 2 : 3 (এখানে B হলো 3)
- B : C = 4 : 5 (এখানে B হলো 4)
3 এবং 4 এর লসাগু হলো 12। তাই B-কে 12 বানাতে হবে।
১ম অনুপাতকে 4 দিয়ে গুণ: 2 × 4 : 3 × 4 = 8 : 12
২য় অনুপাতকে 3 দিয়ে গুণ: 4 × 3 : 5 × 3 = 12 : 15
এখন দুই জায়গাতেই B = 12, তাই জোড়া লাগালে পাই:
8 : 12 : 15
🚀 শর্টকাট টেকনিক (দণ্ড গুণন বা দ-নিয়ম):
সংখ্যাগুলো এভাবে সাজান:
2 3
3 (ডানদিকের ফাঁকায় পাশের 3 বসালাম)
4 4 5 (বামদিকের ফাঁকায় পাশের 4 বসালাম)
----------------
গুণ করুন: (2×4) : (3×4) : (3×5) =
8 : 12 : 15
অপশন বিশ্লেষণ:
- (A) তে 2:12 আছে যা 1:6, কিন্তু প্রশ্নে A:B = 2:3। তাই ভুল।
- (C) তে A>B, কিন্তু প্রশ্নে A<B (2:3)। তাই ভুল।
- (B) তে 8:12 কাটাকাটি করলে 2:3 এবং 12:15 কাটাকাটি করলে 4:5 হয়। তাই এটিই সঠিক।
প্রশ্ন ২: A এবং B-এর মাসিক আয়ের অনুপাত 5 : 4 এবং তাদের ব্যয়ের অনুপাত 3 : 2। যদি উভয়ে মাসে 800 টাকা সঞ্চয় করে, তবে A-এর মাসিক আয় কত?
- (A) 1800 টাকা
- (B) 1600 টাকা
- (C) 2200 টাকা
- (D) 2000 টাকা
✅ সঠিক উত্তর: (D) 2000 টাকা
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (বইয়ের নিয়ম):
ধরি, A ও B এর আয় যথাক্রমে 5x ও 4x টাকা।
এবং তাদের ব্যয় যথাক্রমে 3y ও 2y টাকা।
প্রশ্নানুযায়ী, আয় - ব্যয় = সঞ্চয়।
5x - 3y = 800 ... (i)
4x - 2y = 800 ... (ii)
(i) ও (ii) সমাধান করলে x = 400 পাওয়া যায়।
সুতরাং, A-এর আয় = 5x = 5 × 400 = 2000 টাকা।
🚀 সুপার শর্টকাট টেকনিক (গ্যাপ মেথড):
আয়: 5 : 4
ব্যয়: 3 : 2
পার্থক্য: (5 - 3) = 2 ইউনিট : (4 - 2) = 2 ইউনিট।
লক্ষ্য করুন, অনুপাতের পার্থক্য বা গ্যাপ দুই ক্ষেত্রেই সমান (2 ইউনিট)।
এই 2 ইউনিট মানেই হলো সঞ্চয়।
প্রশ্নমতে, 2 ইউনিট = 800 টাকা।
তাহলে, 1 ইউনিট = 400 টাকা।
A-এর আয় ছিল 5 ইউনিট।
অতএব, A-এর আয় = 5 × 400 = 2000 টাকা।
অপশন বিশ্লেষণ:
A-এর আয়ের অনুপাত 5। তাই উত্তরটি অবশ্যই 5 দিয়ে ভাগ যাবে। সব অপশনই 5 দিয়ে ভাগ যায়, তাই এখানে অঙ্ক কষতেই হবে। শর্টকাটে করলে মাত্র 5 সেকেন্ড সময় লাগবে।
প্রশ্ন ৩: 10 বছর আগে A-এর বয়স B-এর বয়সের অর্ধেক ছিল। যদি তাদের বয়সের অনুপাত 3 : 4 হয়, তবে তাদের বয়সের সমষ্টি কত হবে? (এখানে 'তাদের বয়সের অনুপাত' বলতে বর্তমান বোঝানো হয়েছে)।
- (A) 20 বছর
- (B) 14 বছর
- (C) 35 বছর
- (D) 30 বছর
✅ সঠিক উত্তর: (C) 35 বছর
বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
ধরি, বর্তমানে A ও B-এর বয়স যথাক্রমে 3x ও 4x বছর।
10 বছর আগে তাদের বয়স ছিল: (3x - 10) এবং (4x - 10)।
প্রশ্নমতে, 10 বছর আগে A-এর বয়স B-এর অর্ধেক ছিল।
শর্ত:
3x - 10 = 12(4x - 10)
বা, 2(3x - 10) = 4x - 10
বা, 6x - 20 = 4x - 10
বা, 6x - 4x = 20 - 10
বা, 2x = 10
বা, x = 5
তাহলে বর্তমানে বয়সের সমষ্টি = 3x + 4x = 7x = 7 × 5 =
35 বছর।
🚀 শর্টকাট টেকনিক (অপশন টেস্ট):
বর্তমান বয়সের অনুপাত 3 : 4।
তাহলে বয়সের সমষ্টি অবশ্যই (3 + 4) = 7 এর গুণিতক হতে হবে (অর্থাৎ 7 দিয়ে ভাগ যাবে)।
অপশনগুলোর দিকে তাকান:
- (A) 20 (7 দিয়ে ভাগ যায় না)
- (B) 14 (7 দিয়ে ভাগ যায়) - হতে পারে।
- (C) 35 (7 দিয়ে ভাগ যায়) - হতে পারে।
- (D) 30 (7 দিয়ে ভাগ যায় না)
এবার চেক করি: যদি সমষ্টি 14 হয়, তবে বয়স 6 ও 8। 10 বছর আগে বয়স নেগেটিভ হয়ে যাবে, যা সম্ভব নয়।
তাই সঠিক উত্তর অবশ্যই
35।
