CLASS NO: 04
অধ্যায়: অনুপাত ও সমানুপাত (Ratio & Proportion) - প্র্যাকটিস সেট
১. অনুপাত (Ratio) - এর প্রাথমিক ধারণা
প্রশ্ন ১: a : b = ab অনুপাতে 'a' এবং 'b' কে যথাক্রমে কী বলা হয়?
- A) উত্তরপদ ও পূর্বপদ (Consequent & Antecedent)
- B) পূর্বপদ ও উত্তরপদ (Antecedent & Consequent)
- C) উভয়ই পূর্বপদ
- D) উভয়ই উত্তরপদ
✅ সঠিক উত্তর: Option B (পূর্বপদ ও উত্তরপদ)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
অনুপাতের প্রথম সংখ্যাটিকে বলা হয়
পূর্বপদ (Antecedent) এবং দ্বিতীয় সংখ্যাটিকে বলা হয়
উত্তরপদ (Consequent)।
- Option A ভুল, কারণ এখানে ক্রম উল্টে দেওয়া হয়েছে।
- Option C ও D ভুল, কারণ দুটো রাশির নাম আলাদা।
সূত্র: a : b হলে, a = পূর্বপদ, b = উত্তরপদ।
২. সাম্যানুপাত ও বৈষম্যানুপাত (Ratio of Equality & Inequality)
প্রশ্ন ২: নিচের কোন অনুপাতটি একটি 'সাম্যানুপাত' (Ratio of Equality)?
- A) 3 : 4
- B) 5 : 5
- C) 6 : 7
- D) 2 : 1
✅ সঠিক উত্তর: Option B (5 : 5)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
- সাম্যানুপাত: যখন অনুপাতের দুটি সংখ্যাই সমান হয় (a = b)। যেমন: 1:1, 5:5।
- বৈষম্যানুপাত: যখন দুটি সংখ্যা অসমান হয় (a ≠ b)। যেমন: 3:4, 2:1।
- এখানে একমাত্র Option B তে দুটি সংখ্যা সমান, তাই এটি সাম্যানুপাত। বাকি সব বৈষম্যানুপাত।
শর্টকাট টেকনিক: অপশনে দেখবে কোথায় দুটি সংখ্যা হুবহু এক। সেটাই উত্তর।
৩. গুরু অনুপাত ও লঘু অনুপাত (Ratio of Greater & Less Inequality)
প্রশ্ন ৩: নিচের কোনটি একটি 'গুরু অনুপাত' (Ratio of Greater Inequality)?
- A) 2 : 3
- B) 1 : 1
- C) 5 : 4
- D) 7 : 9
✅ সঠিক উত্তর: Option C (5 : 4)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
- গুরু অনুপাত: প্রথম সংখ্যা (পূর্বপদ) যদি দ্বিতীয় সংখ্যার (উত্তরপদ) চেয়ে বড় হয়। (যেমন: 5 > 4)।
- লঘু অনুপাত: প্রথম সংখ্যা যদি দ্বিতীয় সংখ্যার চেয়ে ছোট হয়। (যেমন: 2 < 3 বা 7 < 9)।
- এখানে Option A (2:3) হলো লঘু অনুপাত।
- Option B (1:1) হলো সাম্যানুপাত।
- Option C (5:4) তে 5 চারের চেয়ে বড়, তাই এটি গুরু অনুপাত।
শর্টকাট টেকনিক: প্রথম সংখ্যা বড় হলে 'গুরু', ছোট হলে 'লঘু'।
৪. ব্যস্তানুপাত (Inverse Ratio)
প্রশ্ন ৪: 5 : 7 এর ব্যস্ত বা বিপরীত অনুপাত কোনটি?
- A) 5 : 7
- B) 7 : 5
- C) 25 : 49
- D) 1 : 1
✅ সঠিক উত্তর: Option B (7 : 5)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
- ব্যস্ত অনুপাত মানে হলো জায়গা অদলবদল করা।
- পূর্বপদ চলে যাবে উত্তরপদের জায়গায়, আর উত্তরপদ আসবে পূর্বপদের জায়গায়।
- 5 : 7 উল্টে গিয়ে হবে 7 : 5।
সূত্র: a : b এর ব্যস্ত অনুপাত = b : a।
৫. যৌগিক বা মিশ্র অনুপাত (Compound Ratio)
প্রশ্ন ৫: 2 : 3 এবং 4 : 5 এর মিশ্র বা যৌগিক অনুপাত কত?
- A) 6 : 8
- B) 8 : 15
- C) 10 : 12
- D) 15 : 8
✅ সঠিক উত্তর: Option B (8 : 15)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
মিশ্র অনুপাত বের করার নিয়ম হলো—সবগুলোর প্রথম সংখ্যা গুণ এবং সবগুলোর শেষের সংখ্যা গুণ।
- প্রথম রাশিগুলোর গুণফল = 2 × 4 = 8
- দ্বিতীয় রাশিগুলোর গুণফল = 3 × 5 = 15
- অতএব, মিশ্র অনুপাত = 8 : 15
সূত্র: a:b এবং x:y এর মিশ্র অনুপাত = (a × x) : (b × y)।
শর্টকাট: প্রথমগুলো গুণ ইজ টু (:) শেষগুলো গুণ।
৬. সমানুপাত (Proportion)
প্রশ্ন ৬: যদি 2 : 3 = 4 : x হয়, তবে x এর মান কত? (এটি সমানুপাতের নিয়ম)
✅ সঠিক উত্তর: Option B (6)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
সমানুপাতের নিয়ম হলো:
প্রান্তীয় রাশি দুটির গুণফল = মধ্যরাশি দুটির গুণফল।
এখানে রাশিগুলো হলো: 2, 3, 4, x
- প্রান্তীয় (ধারের) রাশি = 2 এবং x
- মধ্য (মাঝের) রাশি = 3 এবং 4
- শর্তমতে: 2 × x = 3 × 4
- বা, 2x = 12
- বা, x = 12 / 2 = 6
সূত্র: a : b :: c : d হলে, a × d = b × c।
৭. সরল ও ব্যস্ত সমানুপাত (Direct & Inverse Proportion)
প্রশ্ন ৭: 5টি কলমের দাম 50 টাকা হলে, 10টি কলমের দাম 100 টাকা। এটি কোন ধরণের সমানুপাত?
- A) ব্যস্ত সমানুপাত
- B) সরল সমানুপাত
- C) ক্রমিক সমানুপাত
- D) কোনোটিই নয়
✅ সঠিক উত্তর: Option B (সরল সমানুপাত)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
- সরল সমানুপাত: যখন একটি বাড়লে অন্যটিও বাড়ে। এখানে কলমের সংখ্যা বেড়েছে (5 থেকে 10), তাই দামও বেড়েছে (50 থেকে 100)। একে 'সরল সম্পর্ক' বলে।
- ব্যস্ত সমানুপাত: যখন একটি বাড়লে অন্যটি কমে। (যেমন: লোক বাড়লে কাজের দিন কমে যায়)।
শর্টকাট: বাড়লে বাড়ে = সরল। বাড়লে কমে = ব্যস্ত।
৮. ক্রমিক সমানুপাত (Continued Proportion)
প্রশ্ন ৮: 4, 8, 16 সংখ্যা তিনটি কি ক্রমিক সমানুপাতী?
- A) হ্যাঁ
- B) না
- C) বলা যাবে না
- D) তথ্য অসম্পূর্ণ
✅ সঠিক উত্তর: Option A (হ্যাঁ)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
ক্রমিক সমানুপাতের শর্ত হলো:
প্রথম : দ্বিতীয় = দ্বিতীয় : তৃতীয়।
অথবা,
(দ্বিতীয় সংখ্যা)2 = প্রথম × তৃতীয়।
- চেক করি: 4 : 8 (কাটাকাটি করলে 1:2)
- আবার: 8 : 16 (কাটাকাটি করলে 1:2)
- যেহেতু অনুপাত সমান, তাই এরা ক্রমিক সমানুপাতী।
- অন্যভাবে: মাঝের সংখ্যার বর্গ (82 = 64), ধারের দুটির গুণফল (4 × 16 = 64)। মিলে গেছে।
সূত্র: a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী হলে, a : b = b : c হবে।
৯. মধ্যসমানুপাতী (Mean Proportional)
প্রশ্ন ৯: 4 এবং 9 এর মধ্যসমানুপাতী কত?
✅ সঠিক উত্তর: Option B (6)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
মধ্যসমানুপাতী বের করার নিয়ম হলো সংখ্যা দুটির গুণ করে তার বর্গমূল (Root) করা।
ধরি মধ্যসমানুপাতী b।
সূত্র অনুযায়ী: b
2 = a × c
- এখানে a = 4, c = 9
- b2 = 4 × 9 = 36
- b = √36 = 6
শর্টকাট টেকনিক: দুটি সংখ্যা দেওয়া থাকলে সোজাসুজি গুণ করে রুট করে দেবে।
√(4 × 9) = √36 = 6।
📝 একনজরে মনে রাখার সারসংক্ষেপ (Summary for Exam)
- অনুপাত: কোনো একক থাকে না।
- গুরু/লঘু: প্রথমে বড় থাকলে 'গুরু', ছোট থাকলে 'লঘু'।
- ব্যস্ত: উল্টে দাও (2:3 → 3:2)।
- মিশ্র: প্রথমগুলো গুণ : শেষগুলো গুণ।
- সমানুপাত: শেষের দুটির গুণফল = মাঝের দুটির গুণফল (1st × 4th = 2nd × 3rd)।
- মধ্যসমানুপাত: √গুণফল।
